Упражнения
1. Выяснить, являются ли следующие множества рациональных чисел замкнутыми относительно главных операций кольца рациональных чисел:
(a) множество всех четных целых чисел;
(b) множество всех натуральных чисел;
(c) множество всех рациональных чисел, знаменатели которых суть единица или четные числа;
(d) множество всех рациональных чисел с нечетными знаменателями.
2. Выяснить, являются ли следующие множества действительных чисел замкнутыми относительно главных операций кольца всех действительных чисел:
(a) множество всех чисел вида 
с целыми а и b
(b) множество всех чисел вида 
с целыми а и b
(c) множество всех чисел вида 
с рациональными а и b.
3. Пусть 
- ненулевое кольцо. Докажите, что кольцо 
над 
является некоммутативным кольцом с делителями нуля.
4. Докажите, что в кольце, состоящем из 
элементов, для каждого элемента а кольца 
5. Докажите, что если элемент а кольца перестановочен с элементом 
то он перестановочен также с элементами 
где 
- целое число; если элемент а перестановочен с элементами b и с, то он перестановочен также с элементами 
6. Пусть 
для каждого элемента а кольца 
Покажите, что кольцо 
коммутативно.
7. Пусть 
-гомоморфизм кольца 
в кольцо 
Покажите, что алгебра 
является подкольцом кольца 
.
8. Докажите, что для любых элементов х, у коммутативного кольца и любых целых положительных тип
9. Докажите, что алгебра, изоморфная кольцу, сама является кольцом.
10. Для произвольного кольца докажите индукцией по 
биномиальную теорему
где 
- целое положительное и 
