Связь между координатными столбцами векторов х и ф(x).
Пусть
— фиксированный базис векторного пространства 
— линейный оператор этого пространства. Пусть, далее,
Обозначим через 
координатные столбцы соответственно векторов 
относительно фиксированного базиса (1):
Найдем связь между этими координатными столбцами.
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть 
— линейный оператор векторного пространства и 
— матрица оператора 
относительно базиса (1). Тогда для любого вектора 
выполняется равенство
Доказательство. Пусть 
тогда выполняются равенства (2). Если 
Заменяя в этом равенстве векторы 
на основании (2), получаем
откуда
Следовательно,
ТЕОРЕМА 2.4. Пусть 
— линейный оператор векторного пространства 
— матрица оператора 
относительно фиксированного базиса (1). Если для любого вектора 
то 
Доказательство. Согласно определению матрицы 
Подставив в (3) вместо 
последовательно базисные векторы 
получим
На основании (4) и (5) заключаем, что соответствующие столбцы матриц 
и В совпадают. Следовательно, 
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Пусть 
— линейные операторы векторного пространства с фиксированным базисом 
тогда
Доказательство. Пусть 
тогда
Следовательно,
и, по теореме 2.3,
Равенство (4) верно для любого 
По теореме 2.4, из (4) следует равенство (1).
В силу 
следовательно»
и, по теореме 2.3, для любого 
Согласно теореме 2.4, из (5) следует (2).
