§ 4. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Целые систематические числа.

Пусть g — натуральное число большее 1 и Говорят, что натуральное число а записано в позиционной системе с основанием g, если

где s — целое неотрицательное,

Если каждое число множества обозначено специальным символом, то эти символы называются цифрами -ичной позиционной системы. Представление (1) записывается тогда сокращенно в виде

и называется записью в -ичной позиционной системе. Так, например, запись

запись

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть g — данное натуральное число, большее единицы, и . Всякое натуральное число а однозначно представимо в виде

где

Доказательство. Существование представления (1) доказывается индукцией по а. Если или , то равенство является искомым представлением. Пусть предположим, что возможность представления (1) уже установлена для всех натуральных чисел, меньших, чем а. Так как , то разделив а на g с остатком, получим

Поскольку , то согласно индуктивному предположению число b представимо в виде

Подставив выражение (3) для b в правую часть (2), получим представление для числа а,

которое называется разложением числа а по степеням числа

Докажем однозначность представления индукцией по а. Если , то легко видеть, что единственность имеет место. Предположим, что единственность доказана для всех натуральных чисел, меньших, чем а. Предположим, что кроме (1) для а существует другое представление:

Ввиду (1) и (4) имеем

Из (5) в силу однозначности деления с остатком следует, что

Так как то, по индуктивному предположению, для