Гомоморфизмы алгебр.

Пусть — однотипные алгебры, — произвольная главная операция алгебры и Д» — соответствующая ей главная операция алгебры Говорят, что отображение h множества в множество сохраняет операцию алгебры если

где — ранг операции

Отметим случай, когда — нульместная операция, т. е. она выделяет какой-то элемент а алгебры 070. Тогда соответствующая ей операция тоже будет нульместной и, значит, выделит какой-то элемент b алгебры . В этом случае условие (1) примет вид

т. е. выделенный элемент а алгебры переходит при отображении h в соответствующий ему выделенный элемент b алгебры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизмом алгебры однотипную алгебру называется такое отображение к множества которое сохраняет все главные операции алгебры т. е. удовлетворяет условию (1) для любой главной операции алгебры . Гомоморфизм алгебры на называется эпиморфизмом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм h алгебры на алгебру называется изоморфизмом, если h есть инъективное отображение множества на Алгебры и называются изоморфными, если существует изоморфизм алгебры

Запись означает, что алгебры изоморфны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм h алгебры в алгебру называется мономорфизмом или вложением, если h является инъективным отображением множества

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм алгебры в себя называется эндоморфизмом алгебры Изоморфизм алгебры на себя называется автоморфизмом алгебры

Так, например, автоморфизмом алгебры является тождественное отображение множества на себя.

Пример. Пусть есть операция сложения на множестве R действительных чисел и есть операция умножения на множестве R положительных действительных чисел.

Каждая из алгебр имеет тип (2, 0). Покажем, что они изоморфны. Рассмотрим отображение

Нетрудно видеть, что h есть отображение R на R. Отображение инъективно, так как для любых из R выполняется условие: если , то Кроме того, и для любых у из R имеем Таким образом, отображение h сохраняет главные операции алгебры Следовательно, h является изоморфизмом первой алгебры на вторую.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть h — гомоморфизм алгебры в алгебру и g — гомоморфизм алгебры в алгебру Тогда их композиция является гомоморфизмом алгебры в алгебру

Доказательство. Пусть — произвольная главная операция алгебры (ранга ), — соответствующая ей главная операция алгебры и — главная операция алгебры соответствующая операции . Надо доказать, что для любых элементов из

По определению композиции отображений

Так как, по условию, h и g — гомоморфизмы, то

Следовательно, равенство (1) справедливо. Для нульместных главных операций рассуждения проводятся аналогично.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть h — гомоморфизм алгебры на алгебру и g — гомоморфизм алгебры на алгебру Тогда их композиция является гомоморфизмом алгебры на алгебру

Эта теорема непосредственно следует из теоремы 2.1 и теоремы 2.3.4.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть h — изоморфизм алгебры на алгебру и g — изоморфизм алгебры на алгебру . Тогда их композиция является изоморфизмом алгебры на алгебру .

Доказательство. По теореме 2.1 из условия следует, что есть гомоморфизм алгебры в алгебру Далее, по условию, h — инъективное отображение множества на и g — инъективное отображение множества на Согласно теоремам 2.3.9 и 2.3.4, отсюда следует, что есть инъективное отображение множества на Следовательно, является изоморфизмом алгебры на алгебру

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть h — изоморфизм алгебры на алгебру . Тогда отобрашние является изоморфизмом алгебры на алгебру

Доказательство. По условию, h — инъективное отображение множества на . Поэтому, по следствию является инъективным отображением на Пусть — произвольная главная операция алгебры (ранга ) и — соответствующая ей главная операция алгебры . Нам достаточно доказать, что для любых элементов из

Это условие равносильно следующему:

Так как, по условию, h — гомоморфизм алгебры на , то

т. e. выполняется (2) и, значит, (1). Следовательно, является изоморфизмом алгебры SB на алгебру ТЕОРЕМА 2.5. Отношение изоморфизма на каком-либо множестве алгебр является отношением эквивалентности.

Доказательство. Тождественное отображение алгебры на т. е. такое отображение h, что — a для любого а из очевидно, является изоморфизмом алгебры на . По теореме 2.3, отношение изоморфизма обладает свойством транзитивности. По теореме 2.4, отношение изоморфизма обладает свойством симметричности. Следовательно, отношение изоморфизма является отношением эквивалентности.