§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ

Скалярное умножение в векторном пространстве.

Пусть -векторное пространство над полем -основное множество пространства — основное множество поля которое называется множеством скаляров.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным умношнием в пространстве называется отображение , ставящее в соответствие каждой паре элементов а, b из V скаляр, обозначаемый через и удовлетворяющее условиям:

Скаляр а b называется скалярным произведением векторов а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярное умножение в пространстве называется невырожденным, если для любого ненулевого вектора а из V. Скалярное умножение в пространстве называется нулевым, если для любых а, b из V.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Если — векторное пространство со скалярным умножением, то для любого а из V.

Доказательство. В силу условия и, значит, . В силу правила сокращения отсюда следует, что

Отметим, что в любом конечномерном ненулевом векторном пространстве скалярное умножение можно ввести различными способами.

Пусть - векторное пространство со скалярным умножением

удовлетворяющим условиям (1), (2) определения.

Если — подпространство пространства , то отображение (3) индуцирует отображение , которое на L также удовлетворяет условиям (1), (2). Поэтому векторное пространство также можно рассматривать как векторное пространство со скалярным умножением.