Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Корни n-й степени из произвольного комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа позволяет полностью решить вопрос об извлечении корней из комплексных чисел»
ТЕОРЕМА 8.7. Пусть — отличное от нуля комплексное число и — ненулевое натуральное число. Существует различных корней степени из числа с и все они получаются по формуле
Доказательство. Покажем, что , где — корни степени из единицы и
В самом деле, в силу формулы Муавра
Каждое из чисел есть корень степени из числа с, так как в силу (1)
Если — произвольный корень степени из числа с, то . Поэтому
и в силу (1)
Следовательно, множество является множеством всех корней степени из числа с.
Это множество содержит в точности различных элементов, поскольку
— отличное от нуля комплексное число и 
— ненулевое натуральное число. Существует 
различных корней 
степени из числа с и все они получаются по формуле
, где 
— корни 
степени из единицы и
есть корень 
степени из числа с, так как в силу (1)
— произвольный корень 
степени из числа с, то 
. Поэтому
является множеством всех корней 
степени из числа с.
различных элементов, поскольку
и числа 
попарно различны (по теореме 8.2).
