Глава пятнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Кратное расширение кольца.
Пусть 
— ненулевое подкольцо коммутативного кольца 
— элементы кольца 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минимальное расширение кольца 
являющееся подкольцом кольца 
и содержащее элементы 
из L, называется подкольцом кольца 
, порожденным кольцом 
и элементами 
Это кольцо обозначается через 
а его основное множество — через 
Очевидно, кольцо 
является пересечением всех подколец кольца 
, содержащих элементы 
и имеющих кольцо 
в качестве подкольца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо, обозначаемое через 
и определяемое индуктивно формулами
называется 
-кратным расширением кольца 
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть 
— подкольцо коммутативного кольца 
тогда
Доказательство. Теорема, очевидно, верна при 
Предположим, что теорема верна, когда к кольцу 
присоединяется 
элементов. Из определения следует, что
поэтому
С другой стороны, поскольку 
, то
В силу (2) и (3) имеем
По индуктивному предположению,
На основании равенств (4) и (5) заключаем, что
Следовательно, верна формула (1).
