Глава третья. АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§ 1. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Бинарные и n-местные операции.

Пусть — непустое множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарной операцией на множестве А называется огпображение множества в .

Обычное сложение и умножение целых чисел суть примеры бинарных операций на множестве целых чисел. Пусть — множество всех подмножеств множества М; объединение U и пересечение — примеры бинарных операций на множестве

Пусть f — произвольная бинарная операция на множестве A. Если при отображении элемент с соответствует паре то вместо записи

пишут также

и элемент с называют композицией элементов а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть есть степень непустого множества . Отображение множества в называется -местной операцией на множестве А, а число — рангом операции. Нульместной операцией на множестве А называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества , число 0 называется рангом нульместной операции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение из множества называется частичной -местной операцией на А, если область определения отображения не совпадает с

Операции ранга 0, 1 и 2 называют также нульарной (нульместной), унарной и бинарной соответственно. Унарную операцию называют также оператором.

Примеры. 1. Отображение, ставящее в соответствие каждому множеству А из его дополнение есть унарная операция на множестве

2. В области натуральных чисел вычитание не всегда возможно. Поэтому вычитание на множестве натуральных чисел есть частичная бинарная операция.

3. Операция деления рациональных чисел есть частичная бинарная операция на множестве рациональных чисел.

4. Операция, ставящая в соответствие каждому кортежу натуральных чисел наибольший общий делитель этих чисел, является -местной операцией на множестве натуральных чисел.

Для обозначения -местной операции обычно используют ту же форму записи, что и для произвольных отображений (функций). Если f есть -местная операция на множестве А и

то пишут и говорят, что — значение операции f для набора аргументов