Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Установим связь между рангом линейного оператора и рангом его матрицы.
ТЕОРЕМА 2.6. Ранг линейного оператора конечномерного ненулевого векторного пространства равен рангу матрицы этого оператора.
Доказательство. Пусть — фиксированный базис векторного пространства Пусть — координатные столбцы векторов относительно фиксированного базиса. Они являются столбцами матрицы оператора относительно фиксированного базиса, т. е.
Следовательно,
В силу следствия 7.3 ранг системы векторов равен рангу системы столбцов этих векторов. Отсюда и из (1) следует, что
Пусть — произвольный вектор пространства В силу линейности оператора выполняется равенство Поэтому
т. е. образ оператора порождается векторами
Согласно следствию 7.3, отсюда следует, что
На основании (2) и (3) заключаем, что ранг равен рангу матрицы
— фиксированный базис векторного пространства 
Пусть 
— координатные столбцы векторов 
относительно фиксированного базиса. Они являются столбцами матрицы 
оператора 
относительно фиксированного базиса, т. е.
равен рангу системы столбцов этих векторов. Отсюда и из (1) следует, что
— произвольный вектор пространства 
В силу линейности оператора 
выполняется равенство 
Поэтому
порождается векторами 
равен рангу матрицы 
