Корни n-й степени из единицы.
Пусть 
— любое натуральное число, отличное от нуля.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексное число w, удовлетворяющее условию 
называется корнем 
степени из единицы.
ТЕОРЕМА 8.5. Существует точно 
различных корней 
степени из единицы и все они получаются по формуле
Доказательство. Каждое из чисел 
есть корень 
степени из единицы, так как согласно формуле Муавра
Действительные числа 
неотрицательны, меньше числа 
и попарно различны. Следовательно, по теореме 8.2, комплексные числа 
попарно различны.
Нам остается показать, что произвольный корень 
степени из единицы принадлежит множеству 
По теореме 8.2, число w можно представить в виде 
, причем действительное число 
удовлетворяет условиям
Так как 
то 
и, по теореме 
Следовательно, 
По формуле Муавра 
Поэтому равенство 
можно записать в виде
По теореме 8.3, из (2) следует, что 
для некоторого целого числа k, поэтому 
. Кроме того, в силу (1) 
и, значит, 
Следовательно,
СЛЕДСТВИЕ 8.6. Точки комплексной плоскости, изображающие корни 
степени из единицы, являются вершинами правильного 
-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат, причем одна из вершин находится в точке (0, 1).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Комплексное число w называется первообразным корнем 
степени из единицы 
), если множество чисел 
является множеством всех решений уравнения 
Так, например, при любом натуральном 
число
в силу теоремы 8.5 является первообразным корнем 
степени из единицы.
