Простейшие свойства векторных пространств.
ТЕОРЕМА 7.1. Пусть 
- векторное пространство над полем 
Тогда
(1) если 
то 
Доказательство. (1) Так как 0 — нуль аддитивной группы пространства 
, то 
Поэтому равенство 
а можно записать в виде 
По закону сокращения (для групп), отсюда следует 
(2) По аксиоме 4 векторного пространства имеем
По свойству (1), отсюда следует, что 
(3) По аксиоме (3) векторного пространства,
По свойству (1), отсюда следует равенство 
(4) Так как 
, то равенство а 
можно записать в виде 
По закону сокращения (для групп), отсюда следует 
(5) При 
из 
следует 
и в силу аксиомы (2), 
(6) Так как 
, то равенство 
можно записать в виде 
При а 
по свойству (5), отсюда следует, что 
(7) Прибавив 
к обеим частям равенства а а 
получим 
При 
по свойству (6), отсюда следует, что 
