Уравнения четвертой степени.

По методу Феррари решение уравнения четвертой степени сводится к решению некоторого вспомогательного уравнения третьей степени. Метод Феррари состоит в следующем. Данное уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами

запишем в виде Прибавив к обеим частям уравнения получим

Далее, прибавив к обеим частям уравнения сумму

в левой части уравнения получим полный квадрат:

Трехчлен справа зависит от параметра у. Подберем параметр у так, чтобы этот трехчлен был квадратом двучлена первой степени от Для того чтобы трехчлен был квадратом линейного двучлена от достаточно, чтобы . В самом деле, при выполнении этого условия получаем

Следовательно, в правой части (2) надо подобрать у так, чтобы выполнялось условие

которое можно записать в виде

При выполнении этого условия правая часть уравнения (2) будет квадратом линейного двучлена от

Решая вспомогательное уравнение (3), найдем один из его корней . Затем найдем числа тип такие, чтобы квадрат двучлена был равен правой части равенства (2), тогда

где

Решение уравнения (4) сводится к решению совокупности следующих двух квадратных уравнений:

Решив эти два уравнения, найдем все четыре корня исходного уравнения (1).

Упражнения

1. Решите следующие уравнения третьей степени:

2. Решите следующие уравнения четвертой степени:

3. Докажите, что где - корни уравнения