Неприводимые кратные множители полинома.
Пусть 
— кольцо полиномов над полем 
нулевой характеристики.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f — полином из 
— его неприводимый множитель. Полином 
называется множителем кратности 
(или 
-кратным множителем) полинома 
если
При 
полином 
называется кратным множителем, а при 
— простым множителем полинома 
ТЕОРЕМА 4.3. Пусть 
— кольцо полиномов над полем 
нулевой характеристики и 
Пусть 
— неприводимый множитель кратности 
полинома f. Тогда 
является множителем кратности 
производной 
Доказательство. По условию, 
есть 
ратный множитель полинома 
значит, выполняются условия (1). Используя свойства производной, находим
Так как, по условию, поле 
имеет нулевую характеристику, то 
; поэтому 
. Поскольку 
— неприводимый полином и (ввиду 
) 
, то 
поэтому
На основании (2) и (3) заключаем, что 
является множителем кратности 
производной
СЛЕДСТВИЕ 4.4. Полином 
из 
имеет кратные неприводимые множители тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель полиномов f и f имеет положительную степень.
