§ 1.3. Основные черты существующей методики проверки статистических гипотез

1.3.1. Выборка.

Пусть случайная величина, и мы хотим проверить гипотезу, касающуюся неизвестных параметров распределения х. Решение о принятии или отклонении указанной гипотезы всегда выносится на основе конечного числа наблюдений х. Совокупность конечного числа наблюдений х называется выборкой. Количество наблюдений, составляющих выборку, называется объемом выборки.

Мы будем рассматривать, в основном, случаи, когда последовательные наблюдения х независимы в вероятностном смысле. Последовательные наблюдения величины х называются статистически независимыми, если условное распределение вероятностей наблюдения (при условии, что величины предыдущих наблюдений известны) не зависит от величин предыдущих наблюдений. Это условие, строго говоря, не удовлетворяется, если последовательные наблюдения берутся из конечной генеральной совокупности. Рассмотрим, например, случай, который обсуждался в примере 1 предыдущего параграфа. Предположим, что из партии товара случайным образом выбираются два изделия. Обозначим через величину параметра х для первого, а через величину параметра х для второго изделия. Очевидно, что распределение определяется следующим образом: вероятность того, что равна вероятность того, что равна Распределение при известной величине определяется следующим образом: если то вероятность того, что равна 1 и вероятность того, что равна Другом случае, когда вероятность того, что равна и вероятность того, что равна Таким образом, распределение вероятностей зависит от исхода первого наблюдения — от

величины В силу подобных обстоятельств и в любом другом случае, когда последовательные наблюдения производятся из конечной генеральной совокупности, строгая независимость этих наблюдений невозможна. Однако если число элементов в конечной генеральной совокупности достаточно велико, то зависимость между последовательными наблюдениями будет слабой и ею можно пренебречь.

Пусть дискретная случайная величина и через обозначено ее распределение, т. е. это вероятность того, что Пусть последовательность независимых наблюдений величины х. В силу независимости наблюдений вероятность получения выборки, совпадающей с наблюденной, определяется произведением

Это произведение называется также совместным распределением вероятностей выборки

Если непрерывная случайная величина, для которой существует функция плотности вероятности, то функция плотности совместной вероятности независимых наблюдений величины х определяется произведением