П.4. Вывод точных формул для оперативной характеристики и функции среднего числа наблюдений в случае, когда z может принимать только конечное число значений, кратных постоянному числу

В этом параграфе выведем точные формулы для оперативной характеристики и функции среднего числа наблюдений для случая, когда может принимать только конечное число значений, кратных положительному постоянному числу Этот результат является достаточно общим, так как любое распределение величины может быть с произвольной точностью аппроксимировано

дискретным распределением вышеупомянутого типа, если постоянное число выбрано достаточно малым.

Для получения точной оперативной характеристики и функции среднего числа наблюдений, выведем сначала точное распределение вероятностей накопленной суммы при окончании процесса. В данном параграфе определение вероятности любого соотношения и среднего значения любой случайной величины производится в предположении, что является истинным значением параметра. Однако для упрощения написания не будем отражать этого в формулах, т. е. будем писать вместо и вместо Пусть будут такими двумя положительными целыми числами, что являются положительными, может принимать только целые значения, кратные которые могут быть но Обозначим через Тогда производящая функция моментов определяется выражением

Для получения корней уравнения обозначим и решим уравнение

Пусть означает и пусть корней уравнения будут равны соответственно. Предположим, что все корни различны, т. е. при Подставляя в фундаментальное тождество вместо получаем

Пусть будет наименьшим целым числом наибольшим целым числом Тогда может принимать только значения

Обозначим различных значений в через соответственно. Обозначим через Тогда уравнение может быть записано в виде

Пусть А будет определителем матрицы и пусть будет определителем, полученным из А подстановкой 1 вместо элементов в столбце. Если то из следует, что равна

Таким образом, вероятность окончания процесса при определится выражением

где суммирование должно производиться по всем у, для которых Равенство (П. 133) определяет точное значение оперативной характеристики.

Из закона распределения легко вывести математическое ожидание величины Действительно, в параграфе было показано, что

Но так как

то

является точным выражением для функции среднего числа наблюдений.

Для получения вероятностей описанному выше методу необходимо вычислить корни уравнения Однако этого можно избежать, если воспользоваться методом, предложенным Гиршиком. Гиршик предлагает

поступить следующим образом. Умножая на на получаем два полинома причем имеет порядок порядок В соответствии с любой корень является так же корнем Следовательно,

где является полиномом степени т. е.

Полагая коэффициент при любой степени а в равным коэффициенту при той же степени в получим систему линейных уравнений неизвестными из которых можно определить эти неизвестные.

Таким образом, вероятности можно определить, не решая уравнения Это преимущество, однако, достигается ценой увеличения числа линейных уравнений, которые надо решить. Если производить вычисление корней полинома то для определения необходимо решить только линейных уравнений. При использовании метода Гиршика не нужно определять корней полинома, но число линейных уравнений при этом увеличивается до

Если то оперативная характеристика дается простым выражением относительно корней Действительно, Имеем:

и

Отношение не изменится, если умножить строки на Таким образом,

Минор каждого элемента в последней колонке является определителем Вандермонда. Раскрывая определители в числителе и знаменателе по последним колонкам и деля числитель и знаменатель на определитель Вандермонда

получаем

Проиллюстрируем на простом примере вывод точной оперативной характеристики и точной функции среднего числа наблюдений. Пусть х будет случайной величиной, которая может принимать только два значения: и 1. Обозначим через гипотезу о том, что вероятность события равна Пусть

Рассмотрим последовательный критерий для проверки относительно Вычисливероятность того, что процесс окончится принятием и среднее число наблюдений в

критерии для случая, когда истинная вероятность того, что равна

Сначала вычислим Так как может принимать только значения

с вероятностями соответственно, то получаем

Полагая и решая уравнение

получим корни Тогда целые числа определятся следующим образом

Таким образом,

Тогда вероятность принятия равна

Среднее значение величины равно