4.2.4. Частный класс задач, рассмотренный Гиршиком.

Класс задач, рассмотренный Гиршиком, можно определить следующим образом.

Пусть и две независимые случайные величины. Распределение величины дается функцией распределение величины функцией причем функциональный вид распределений известен, а величины параметров неизвестны. Задача заключается в проверке гипотезы относительно конкурирующей гипотезы

Задачи данного типа часто возникают в приложениях. Пусть, например, х означает некоторую количественную характеристику промышленного изделия, например, твердость, сопротивление на разрыв или вес. Предположим, что распределение х в генеральной совокупности готовых изделий имеет известную функциональную форму но величина параметра неизвестна. Предположим далее, что промышленность стоит перед выбором одного из двух возможных способов производства этих изделий. Пусть означает величину параметра при использовании первого способа производства, а величину параметра при использовании второго способа производства. Обе величины неизвестны. Если считается более желательной продукция с ббльшей величиной 0, то задача выбора между двумя возможными способами производства сводится к испытанию гипотезы о том, что выбирается первый способ, если гипотеза И отклоняется, и избирается второй способ производства, если гипотеза принимается.

Гиршик предложил следующую методику проверки гипотезы Выбираем некоторую величину параметра и некоторую величину параметра причем величины берутся такими, чтобы Пусть означает гипотезу о том, что совместное распределение величин дается произведением и пусть означает гипотезу о том, что совместное распределение величин имеет После этого применяем последовательный критерий отношений вероятностей к проверке простой гипотезы относительно простой конкурирующей гипотезы Гипотеза принимается или отклоняется в соответствии с тем, к чему приводит наше испытание — к принятию или отклонению гипотезы Таким образом, для проведения проверки необходимо выбрать две постоянные и на каждой стадии эксперимента подсчитывать величину отношения

Здесь означает наблюдение величины ). Предполагается, что наблюдения производятся попарно, причем каждая пара состоит из одного наблюдения величины и одного наблюдения величины Эксперименты продолжаются до тех пор, пока отношение остается в диапазоне между Гипотеза принимается, если — В, и отклоняется, если .

Гиршик показал, что во многих важных случаях приведенная выше методика проверки обладает следующим свойством: существует такая функция что можно считать некоторой допустимой мерой разности между и вероятность принятия гипотезы И зависит только от величины Функция удовлетворяет условиям: 1) когда когда

Если функция свойства которой указаны выше, существует, то выбор четырех величин можно сделать на основе следующих соображений. Пусть такая

положительная величина, что принятие гипотезы считается ошибкой, имеющей практическое значение, для всех а отклонение гипотезы является ошибкой, имеющей практическое значение, для всех Для величин расположенных между , не очень важно, какое решение будет принято. Таким образом, мы хотим получить такую методику проверки, для которой вероятность отклонения гипотезы не превосходит для всех заранее заданной величины а и вероятность принятия гипотезы для всех не превосходит заранее заданной величины . Наша методика проверки будет обладать этими свойствами, если величины выбраны так, что и последовательный критерий отношений вероятностей, примененный к проверке гипотезы относительно гипотезы имеет силу Для всех практических целей мы можем положить

Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример. Предположим, что нам надо выбрать один из двух возможных технологических процессов. Предположим также, что рассматриваемая количественная характеристика изделий является нормально распределенной случайной величиной с известным средним значением, но неизвестным стандартным отклонением в случае, если используется первый процесс, и при использовании второго процесса. Для нас предпочтительнее, конечно, тот технологический процесс, который приводит к меньшему стандартному отклонению.

Таким образом, производство заинтересовано в проверке гипотезы о том, что ограничивая общности, можно считать, что средние значения распределений равны нулю. Пусть гипотеза о том, что гипотеза о том, что Тогда отношения вероятностей при проверке гипотезы относительно гипотезы определятся выражением

где означает наблюдение, взятое из генеральной совокупности, соответствующей процессу

Гиршик показал, что вероятность того, что последовав гельный критерий отношений вероятностей закончится принятием гипотезы зависит только от величины

Эту величину можно интерпретировать как приемлемую меру отклонения от Предположим, что мы хотим, чтобы наша методика проверки удовлетворяла следующим условиям: вероятность отклонения гипотезы не должна превосходить а во всей области

и вероятность принятия гипотезы не должна превосходить во всей области

После этого выбираем и так, чтобы

Отношение вероятностей, определяемое формулой (4.23), становится тогда равным

Если вместо — использовать

то испытание может проводиться следующим образом. Продолжаем делать пары наблюдений до тех пор, пока остаются

справедливыми неравенства

Принимаем гипотезу если

и отклоняем гипотезу если