4.1.4. Применение общей методики к проверке среднего значения нормального распределения с известной дисперсией.

В этом разделе рассмотрим задачу о проверке простой гипотезы о том, что среднее значение нормального распределения с известной дисперсией равно определенной величине

Для 0, не равных но близких к принятие гипотезы не будет считаться серьезной ошибкой. Существует, однако, такая положительная величина 8, что принятие гипотезы рассматривается как ошибка, имеющая практическое значение, в том (и только в том) случае, когда где через о обозначено известное стандартное отклонение рассматриваемого распределения. Таким образом, область отклонения можно определить как совокупность всех величин 0, для которых — , область принятия будет состоять из единственной точки а область безразличия из всех величин 0, для которых

Плотность распределения вероятностей выборки при гипотезе определяется выражением

В соответствии с общей теорией, обсуждавшейся в предыдущем пункте, функция определяется как некоторое взвешенное среднее значение функции плотности вероятностей, соответствующей различным величинам расположенным в области отклонения. В приложении показывается, что оптимальная взвешенная функция является простым средним значением для функций плотности вероятностей: функции плотности вероятностей, соответствующей значению и функции плотности вероятностей, соответствующей значению Таким образом,

После определения функций проверка проводится следующим образом. Производим наблюдения до тех пор, пока остается справедливым неравенство Если то гипотеза отклоняется, если то гипотеза принимается. Чтобы при этом вероятность ошибки первого рода равнялась а, а максимальное в области значение равнялось во всех практических случаях можно брать и

Более подробное обсуждение рассмотренного здесь критерия проведено в главе 9.