П.2.5. Вычисление ... для нормального распределения.

Предположим теперь, что X является нормально распределенной случайной величиной с неизвестным средним значением и известной дисперсией Можем предположить без потери общности, что так как этого легко достигнуть умножением на коэффициент пропорциональности.

Тогда

и

Можем предположить, не теряя общности, что где так как это легко получить при помощи переноса. Тогда

Производящая функция моментов величины определяется выражением

Следовательно,

Подставляя значение в и получаем

и

Для любого соотношения обозначим через вероятность выполнения при условии, что распределение х является нормальным с единичной дисперсией и средним значением 6. Далее, пусть означает вероятность выполнения при условии, что распределение х является нормальным со средним значением и единичной дисперсией. Так как равно отношению плотности вероятностей нормального распределения со средним значением —6 и единичной дисперсией к плотности вероятностей нормального распределения со средним значением и единичной дисперсией, то очевидно, что

Легко убедиться, что члены в правой части и имеют одинаковые значения как для так и для Таким образом, также имеют одинаковые значения как при так и при Поэтому достаточно будет вычислить для отрицательных значений 0. Пусть где Сначала покажем, что Очевидно, что

Подстановка в дает

Следовательно,

Вследствие симметричности нормального распределения легко увидеть, что

Следовательно,

Вычислим теперь величину Пусть

Тогда

Точно так же

Обозначим через и. Так как изменяется от 0 до 1, то а может иметь любые значения от до Но поэтому

Докажем теперь, что

является монотонно убывающей функцией от и соответственно имеет максимум при Для этой цели достаточно показать, что производная от всюду неположительна. Имеем

Пусть означает Так как

то из следует

Из теоремы о среднем значении следует, что правая часть равенства всюду неположительна, если равна или меньше единицы для всех значений и. Таким образом, нужно показать, что

Обозначим через у. Корни уравнения равны

Следовательно, неравенство выполняется тогда (и только тогда), когда

Так как не может быть отрицательным, то это неравенство эквивалентно следующему

Таким образом, нужно доказать Покажем, что выполняется для всех действительных значений и. Бернбаум показал, что для

Следовательно,

что и доказывает для Докажем теперь для Пусть где Тогда из следует

Заменяя дробь на обратную, получим из

Так как

то из получим

Переходя к обратным величинам, мы получаем

Таким образом, соотношение доказано для всех значений и и, следовательно, 86 равна выражению если подставить вместо и. Таким образом,

Формула получена для случая Легко показать, что в общем случае для значений

где