П.9. Определение оптимальных весовых функций ... в некоторых специальных случаях проверки сложных гипотез

П.9.1. Класс случаев, для которых можно простым способом определить оптимальные весовые функции ...

Пусть означает распределение х, зависящее от неизвестных параметров Предположим, что необходимо проверить сложную гипотезу о том, что параметрическая точка лежит в подмножестве пространства параметров. Пусть означает зону предпочтения принятия и зону предпочтения браковки. Допустим, что границей является поверхность Предположим, что можно найти такие две весовые функции (0) и что

и что последовательный критерий отношений вероятностей, основанный на отношении

удовлетворяет следующим условиям (для любых значений : 1) постоянна в постоянна по для любой точки внутри значение не превосходит постоянного значения на

Покажем теперь, что можно рассматривать как оптимальные весовые функции в смысле, определенном в пункте 4.2.2. Пусть будут любыми другими весовыми функциями и будут вероятностями

ошибок первого и второго рода в случае, когда используются и Как было показано ранее, равенства

и

дают достаточно хорошее приближение; поэтому с тем же приближением в максимум а и в а), максимум если используются то из условий 1), 2) и 3) следует, что (с хорошим приближением) максимум в равен и максимум равен Следовательно, эти весовые функции оптимальны в смысле, определенном в пункте 4.2.2.

В некоторых частных, но важных статистических задачах легко могут быть найдены весовые функции удовлетворяющие условиям 1), 2) и 3). В следующем пункте увидим, что такие весовые функции легко могут быть построены для случая проверки среднего значения нормального распределения с неизвестной дисперсией. Как и ранее, мы можем положить для практических целей где а является требуемой верхней границей требуемой верхней границей