П.8. Определение оптимальной весовой функции w(O) в некоторых специальных случаях проверки простых гипотез без ограничения возможных конкурирующих значений параметров

П.8.1. Класс случаев, когда оптимальная весовая функция w(O) может быть определена простой процедурой.

Пусть будет простой гипотезой подлежащей проверке. Обозначим распределение х через Предположим, что границей

зоны предпочтения отклонения является поверхность в пространстве параметров. Обозначим ее через Положим далее, что можно найти такую неотрицательную функцию параметра что поверхностный интеграл

и последовательный критерий отношений вероятностей

удовлетворяют следующим двум условиям (при любых значениях

1°. Вероятность совершить ошибку второго рода (принять когда верно 0) является постоянной по всей поверхности

2°. Для любой точки области значение не превосходит постоянного значения на поверхности

Покажем теперь, что можно рассматривать как оптимальную функцию в смысле, определенном в пункте 4.1.3, и критерий отношений вероятностей, основанный на отношении обеспечивает решение нашей задачи. Фактически весовую функцию по поверхности можно рассматривать как предел весовой функции которая принимает значение для любого из области расстояние от которого до границы превосходит некоторое положительное А, стремящееся в пределе к нулю. Как следует из условий 1) и 2), для весовой функции максимум равен среднему взвешенному от т. е. равен Рассмотрим теперь любую другую весовую функцию обозначим вероятность ошибки 2-го рода через если вместо используется В пункте 4.1.3 было показано, что с достаточно хорошим приближением для практических целей выполняется соотношение

Следовательно, в области максимум

Тогда оптимальность весовой функции вытекает из того, что максимум равен

В некоторых важных статистических задачах легко можно найти такую весовую функцию (0), для которой выполняются условия 1) и 2). Покажем, например, что такая весовая функция легко может быть найдена для случая проверки средних значений нормально распределенных случайных величин с известной дисперсией. После того как весовая функция найдена, для практических целей можно положить где а является требуемой величиной вероятности ошибки первого рода и — требуемой верхней границей для

Хотя до сих пор мы предполагали, что X является единственной случайной величиной, все результаты остаются, очевидно, справедливыми и тогда, когда X является случайным вектором, т. е. представляет собой совокупность из случайных величин Единственное изменение в формулах заключается в том, что наблюдение должно быть заменено совокупностью из величин, где является наблюдением