ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КРИТЕРИЕВ ДЛЯ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ГИПОТЕЗ ОТНОСИТЕЛЬНО МНОЖЕСТВА КОНКУРИРУЮЩИХ ГИПОТЕЗ

В главе 3 мы сталкивались главным образом с теоретическим случаем проверки простой гипотезы относительно единственной конкурирующей гипотезы Однако в задачах, связанных с приложениями, неизвестный параметр или параметры обычно могут принимать бесконечно много значений. В настоящей главе рассмотрим последовательную проверку простых и сложных гипотез относительно бесконечно большого числа конкурирующих гипотез.

§ 4.1. Проверка простых гипотез

4.1.1. Вводные замечания.

Выше мы назвали простой гипотезой такое утверждение, которое полностью определяет величины всех неизвестных параметров распределения. Теперь целесообразно высказать несколько замечаний относительно тех условий, при которых проверка простой гипотезы может иметь практическое значение. С этой целью достаточно рассмотреть случай лишь одного неизвестного параметра входящего в распределение рассматриваемой случайной величины х. При этом простая гипотеза заключается в утверждении, что равно некоторой определенной величине

В различных приложениях задача проверки той или иной гипотезы обычно ставится следующим образом. Имеются два противоположных действия, например действие 1 и действие 2, между которыми должен быть сделан выбор, причем целесообразность того или иного действия зависит от величины параметра Пусть означает множество всех величин 0, для которых действие 1 оказывается предпочтительнее

действия 2. Тогда действие 2 будет предпочтительнее для всех 0, не принадлежащих к множеству Обозначим через Ни гипотезу о том, что параметр принадлежит множеству Тогда проблему выбора между двумя линиями поведения можно сформулировать как задачу проверки гипотезы На). Если гипотеза принимается, то мы совершаем действие 1, если гипотеза отклоняется, то мы совершаем действие 2. При этом, если степень предпочтения, оказываемая тому или иному решению, непрерывно изменяется с изменением величины 0, то множество не может состоять из единственного элемента Действительно, если состоит только из одного элемента то это означает, что мы предпочитаем действие 1 только при а действие 2 для всех невзирая на то, насколько близко к Следовательно, функция предпочтения оказывается разрывной при

Итак, видим, что задача проверки простой гипотезы возникает, строго говоря, только в том случае, когда функция предпочтения того или иного решения оказывается разрывной. Хотя разрыв функции предпочтения, конечно, возможен, такие случаи встречаются довольно редко. Разрыв функции предпочтения может, например, иметь место в случае, когда мы хотим проверить справедливость некоторой гипотетической научной теории, согласно которой некоторый параметр должен иметь определенную величину В таком случае любое отклонение величины от независимо от того, насколько оно мало, оказывается существенным, поскольку оно опровергает проверяемую гипотетическую теорию.

Во всех случаях, когда степень предпочтения того или иного решения непрерывно изменяется с изменением величины 0, проверяемая гипотеза будет, строго говоря, сложной, Тем не менее зачастую целесообразно заменить сложную гипотезу подходящей простой гипотезой, поскольку проверка последней является обычно более простой задачей. Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример. Предположим, что твердость х некоторого материала меняется от изделия к изделию и является нормально распределенной случайной величиной с известной дисперсией, но неизвестным средним значением 0. Предположим, что является наиболее

желательным значением 0, так что наш материал считается тем менее желательным, чем больше разность

Пусть действие 1 соответствует приемке материала, а действие 2 — его браковке. Приемка материала является наиболее желательной, когда и желательность приемки непрерывно уменьшается с ростом величины Допустим, что имеется положительная величина 8 такая, что при целесообразной является уже браковка материала, и желательность браковки возрастает с ростом величины в области Если т. е. если рассматриваемая характеристика имеет как раз граничное значение, то ни одно из двух возможных действий не является предпочтительным. Нетрудно видеть, что в данной задаче проверяемая гипотеза является сложной гипотезой Если, однако, величина мала, то эту сложную гипотезу можно заменить для практических целей простой гипотезой Проверка гипотезы имеет почти такую же оперативную характеристику, что и проверка сложной гипотезы Действительно, при проверке гипотезы мы подразделяем ось на три области; область принятия, область отклонения и область безразличия. Как указывалось в п. 2.3.1, область принятия состоит из всех величин 0, для которых принятие гипотезы является сильно предпочтительным, т. е. для которых браковку материала следовало бы считать ошибкой, имеющей практическое значение. Аналогично, область отклонения состоит из всех тех величин 0, для которых очень желательно отклонение гипотезы, в то время как для величин 0, расположенных в области безразличия, предпочтение одного действия другому является слабым, и нас не особенно беспокоит, какое решение будет принято.

В нашем примере эти три области целесообразно определить следующим образом. Выбираем две положительные величины Область принятия определится тогда неравенством область отклонения определится неравенством и область безразличия — неравенствами Методику проверки следует затем определить так, чтобы вероятность отклонения гипотезы не превосходила заданной величины а для всех 0, расположенных в области принятия, и вероятность принятия гипотезы не превосходила заданной величины для всех 0, расположенных в области отклонения.

Если теперь заменим исходную сложную гипотезу простой гипотезой то область принятия будет состоять из единственного значения параметра область отклонения можно, как и раньше, определить неравенством а область безразличия теперь определится неравенствами После этого к методике проверки гипотезы следует предъявить требования, чтобы вероятность отклонения гипотезы равнялась а при а вероятность принятия гипотезы не превышала во всей области Если очень мало, то проверка гипотезы будет с большой точностью удовлетворять требованиям, предъявляемым к проверке исходной сложной гипотезы, поскольку вероятность отклонения гипотезы будет примерно равна а для всех 0, расположенных в достаточно малой окрестности Таким образом, для практических целей можем заменить исходную сложную гипотезу простой гипотезой

Как мы видели, задача о проверке простой гипотезы возникает в двух случаях: 1) когда имеется разрыв функции предпочтения и возникает задача проверки простой гипотезы в строгом смысле (такие случаи редки), 2) когда возникающая задача сводится к проверке сложной гипотезы и эта гипотеза заменяется простой гипотезой лишь ради простоты решения. С точки зрения областей принятия, отклонения и безразличия простая гипотеза характеризуется тем, что область принятия состоит из единственной точки.