4.2.2. Описание методики проверки в общем случае.

При проверке сложной гипотезы о том, что параметрическая точка 6 принадлежит подмножеству параметрического пространства, параметрическое пространство вновь подразделяется на три попарно непересекающиеся области: область принятия, область отклонения и область безразличия. Область принятия теперь в отличие от случая проверки простой гипотезы может состоять более чем из одной параметрической точки.

При любой методике проверки вероятность ошибки первого рода (вероятность отклонения гипотезы когда она верна) будет вообще изменяться при изменении параметрической точки в области Для любой параметрической точки принадлежащей к области , обозначим через вероятность того, что гипотеза будет отклонена, в то время как является истинной параметрической точкой. Аналогично, вероятность ошибки второго рода (вероятность принятия гипотезы когда она неверна) является функцией определенной для всех точек расположенных вне области

В соответствии с требованиями, сформулированными в п. 2.3.2, мы требуем, чтобы при нашем критерии не превышало заранее заданной величины а для всех принадлежащих к области и чтобы не превышало заранее заданной величины для всех принадлежащих к области Прежде чем перейти к задаче отыскания соответствующего критерия, удовлетворяющего этим требованиям, мы опять, как и в случае простой гипотезы, рассмотрим некоторую видоизмененную задачу. Пусть Две неотрицательные функции величины называемые весовыми функциями, — таковы, что

Предположим, что хотим сконструировать такой последовательный критерий, чтобы взвешенное среднее

вероятностей ошибок первого рода равнялось заданной величине а, а взвешенное среднее вероятностей ошибок второго рода

равнялось величине

Соответствующий последовательный критерий, удовлетворяющий этим видоизмененным требованиям, можно сконструировать следующим образом. Пусть функции, определяемые формулами

и

где через обозначено распределение вероятностей в случае, когда является истинной параметрической точкой. Функции можно интерпретировать как распределения вероятностей выборки Обозначим через гипотезу о том, что распределение вероятностей выборки определяется формулой (4.16), а через гипотезу о том, что это распределение определяется формулой (4.17). Последовательный критерий отношений вероятностей силы будучи применен к проверке гипотезы относительно гипотезы Ни обеспечит решение нашей задачи. Если постоянные в этом последовательном критерии выбраны так, чтобы вероятность отклонения гипотезы когда она верна, равнялась а, а вероятность принять гипотезу когда верна конкурирующая

гипотеза равнялась то для этого последовательного критерия имеем

и

Чтобы сделать силу проверки гипотезы относительно гипотезы равной мы вновь для практических целей можем положить

Для получения последовательного критерия, удовлетворяющего требованиям

мы должны ограничиться последовательными критериями отношений вероятностей, для которых определяются формулами (4.16) и (4.17) соответственно, а функции могут быть любыми весовыми функциями, удовлетворяющими условиям (4.15).

Обозначим через С класс всех таких критериев, соответствующих всем возможным весовым функциям (0) и Чтобы выбрать определенный критерий из класса С, который удовлетворял бы требованиям (4.18) и (4.19), мы должны поступать аналогично случаю простых гипотез, который рассматривался в п. 4.1.3. Этот критерий однозначно определяется выбором постоянных и весовых функций Таким образом, максимальная относительно 0, принадлежащих к области величина так же как максимальная относительно принадлежащих к области величина однозначно определяются заданием Обозначим эти максимумы через а соответственно. Для заданных величин Ли В считаются более желательными такие весовые функции которым соответствуют меньшие величины а Таким образом, если можно найти весовые функции Для которых одновременно минимализируются величины а отк)]

и эти весовые функции можно считать оптимальными. В приложении показывается, что в ряде важных частных случаев (таких, например, как определение среднего значения нормального распределения с известной дисперсией) оптимальные весовые функции описанного выше типа существуют. Однако неизвестно, существуют ли они в общем случае. Если невозможно одновременно минимализировать и а то приемлемым может быть такой выбор при котором некоторое среднее двух величин а или максимум этих двух величин оказывается минимальным.

Если принимается принцип, сформулированный выше для выбора функции веса то максимальная в области величина и максимальная в области величина будет зависеть только от Наконец, постоянные определяются так, чтобы эти два максимума были равны соответственно.

Вообще говоря, не существует общего метода, пригодного для определения весовых функций оптимальных в указанном выше смысле, Однако в некоторых частных случаях такие весовые функции могут быть найдены.