§ 10.5. Обсуждение специального класса планов последовательной выборки

Проблема отыскания плана последовательной выборки, который можно рассматривать как оптимальный в смысле предыдущего параграфа, еще не решена. Однако, как будет показано в этом параграфе, можно построить широкий класс планов последовательной выборки, для которых вероятность неправильного решения не превышает наперед заданной величины

Для построения такого класса выборочных планов воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Пусть есть последовательность переменных, пусть есть совместная плотность вероятности при условии, что верна гипотеза и пусть есть плотность вероятности при условии, что верна гипотеза Пусть, кроме того, А — постоянная, большая единицы. Тогда при условии, что верна гипотеза вероятность того, что неравенство

будет выполнено для всех значений будет больше или равна

Справедливость этой леммы легко показать при помощи неравенств § 3.2, устремляя постоянную В в этих неравенствах к 0.

При помощи этой леммы можем построить план последовательного критерия, для которого вероятность принятия неправильного решения не превышает наперед заданной величины

Пусть равно где распределение вероятностей х, когда истинное значение. Для любой параметрической точки возьмем произвольное, но заданное заранее, распределение вероятностей для величин

Тогда в соответствии с леммой вероятность того, что неравенство

выполняется для всех будет больше или равна когда истинное значение. Пусть для любой выборки означает множество всех параметрических точек 0, для которых неравенство (10.7) выполняется для всех значений Ясно, что вероятность того, что истинная параметрическая точка войдет во все множества больше или равна Определим последовательный критерий следующим образом: продолжаем производить наблюдения до тех пор, пока хотя бы одна из весовых функций не будет тождественно равна нулю на Как только станет таким, что по крайней мере одна из весовых функций будет тождественным нулем на прекращаем наблюдения и принимаем гипотезу, соответствующую обратившейся в нуль на весовой

функции. Очевидно, для этого плана последовательного критерия вероятность неправильного решения не будет превышать Если положим А равным то вероятность неправильного решения не превысит что и требуется.

Этот метод приводит к широкому классу С планов последовательного критерия с требуемыми свойствами, так как плотность распределения в числителе (10.7) выбирается совершенно произвольно. Неясно, содержит ли этот класс С планов проверки оптимальный план в смысле определения, данного в § 10.4. Если мы намерены ограничиться способами проверки класса С, то и в этом случае нам остается еще выбрать так, чтобы сделать математическое ожидание числа наблюдений, требуемых в критерии, возможно более малым. Эта задача также еще не решена. Предположение, что может привести к некоторому расточительству, так как при этом максимум вероятности неправильного решения может оказаться значительно меньше допустимой величины Дальнейшее развитие теории может показать, что А можно полагать равным некоторой величине, меньшей что привело бы к экономии числа наблюдений.

Хотя на данном этапе развития теория является очень неполной, выборочные планы, основанные на неравенстве (10.7), все же с успехом могут быть использованы в некоторых задачах. Если мы и не можем еще найти наилучшее распределение чтобы использовать его в числителе (10.7), мы все же способны сделать достаточно хороший выбор и тем самым получить последовательный критерий, требующий в среднем значительно меньшее число наблюдений, чем самый лучший непоследовательный критерий, основанный на заданном числе наблюдений. Относительно возможных способов выбора таких которые могут дать достаточно хорошие результаты, можно сделать следующие замечания. Хороший результат можно получить в некоторых случаях, полагая равным разумно выбранному взвешенному

среднему где С — переменная параметрическая точка. Другими словами, полагаем

где интегрирование производится по всему пространству параметров неотрицательная функция С, удовлетворяющая условию

Выбор усредняющей функции будет зависеть от весовых функций Если например, в рассматриваемой параметрической точке 0, то кажется естественным положить для всех точек С, для которых так как мы не заинтересованы в том, чтобы различать параметрические точки, для которых является правильным одно и то же решение.

В некоторых случаях к хорошим результатам может привести другой способ выбора а именно:

где оценка максимального правдоподобия 0, основанная на первых наблюдениях, некоторое подходящим образом подобранное распределение вероятностей

Чтобы проиллюстрировать способ выборочных испытаний, основанный на (10.7), рассмотрим следующий простой пример. Пусть х распределено нормально с неизвестным средним и единичной дисперсией. Тогда

Пусть

где заданная положительная величина. Тогда

Уравнение

имеет два корня, равных по абсолютной величине. Пусть положительный, отрицательный корень (10.14). Тогда корни уравнения относительно

есть

где — среднее арифметическое результатов наблюдений

Множество всех значений 0, для которых неравенство

выполнено, представляет собой открытый интервал Множество определяется как пересечение открытых интервалов Следовательно, равно открытому интервалу нижняя граничная точка которого равна максимуму величин а верхняя граничная точка равна

минимуму величин Эксперимент прбкра» щается, как только в первый раз открытый интервал оказывается таким, что одна из весовых функций обращается в нуль тождественно на

В качестве другой иллюстрации рассмотрим снова пример § 10.1 и для простоты предположим, что дисперсия х равна 1. Хотя правильный выбор Для этого примера совершенно не был исследован, следующий выбор по-видимому, не является неразумным.

Параметрическая точка в зоне предпочтения принятия т. е. величина должна отличаться от всех других параметрических точек С, для которых принятие является неверным решением. Наименьшее значение С, для которого есть Таким образом, положим

Если находится в зоне безразличия т. е. то мы хотим отличить от всех значений С, для которых принятие одной из гипотез неправильное решение. Наименьшее из таких значений равно Таким образом, возьмем

если

Если находится в зоне предпочтения принятия т. е. мы хотим отличить от значений С, для которых принятие является неверным. Наибольшее из таких значений слева от а есть а наименьшее справа от есть

Поэтому кажется естественным взять

если

Если находится в зоне безразличия если мы хотим отличить от значений С, для которых принятие одной из гипотез или неверно. Таким образом, положим

если

Наконец, если находится в зоне предпочтения принятия т. е. если мы хотим отличать от значений С, для которых принятие неверно. Верхняя граница таких С равна Таким образом, положим

Следует помнить, что систематическая теория, позволяющая правильно выбрать отсутствует. Выбор в вышеприведенных примерах был сделан из чисто интуитивных соображений. Может оказаться, что! существует другой выбор который ведет к более хорошим результатам. Заметим, что, вообще говоря, неизвестно, входит ли оптимальный выборочный план в класс планов, основанных на неравенстве (10.7). Дальнейшие исследования должны пролить свет на эти вопросы.