§ 3.3. Определение постоянных A и B на практике

Предположим, что мы хотим получить критерий силы Необходимо определить постоянные таким образом, чтобы полученный критерий имел желаемую силу Обозначим через и соответственно величины для которых критерий имеет требуемую силу Точное определение величин и обычно чрезвычайно трудоемко. Однако основные неравенства, полученные в предыдущем параграфе, позволяют произвести приближенное определение величин которое достаточно для большинства практических целей. Из (3.9) и (3.11) следует

Обозначим и исследуем следствия такого определения, Из (3.21) и (3.22) следует, что величина а выбранная для больше или равна точному значению и величина выбранная для В, меньше или равна точному значению Тогда замена на и на приведет в общем случае к изменению вероятностей ошибок первого и второго рода. Если положить равным величине, большей и положить В равным величине то полученная вероятность ошибки первого рода будет меньше а, но вероятность ошибки второго рода будет несколько больше Подобно этому, если использовать для точное значение а для величины В

значение ниже точного то вероятность ошибки второго рода будет меньше а вероятность ошибки первого рода будет несколько больше а. Таким образом, если используемая величина А выше точного значения а величина В ниже точного значения то неясно, какими получатся в результате этого ошибки первого и второго рода. Обозначим через результирующие вероятности ошибок первого и второго рода при Тогда из (3.12) и (3.13) получим

и

Из этих неравенств следует, что

и

Умножая (3.23) на на и складывая полученные неравенства, имеем

Неравенства (3.25), (3.26) и (3.27) дают важные верхние оценки для На практике величины обычно бывают малыми. Чаще всего они лежат в диапазоне от 0,01 до 0,05. Таким образом, и а Достаточно близки кайр соответственно. Из (3.25) и (3.26) видно, что величины, на которые может превосходить может превосходить являются достаточно малыми и для всех практических целей ими можно пренебречь. Более того, (3.27) показывает, что по крайней мере одно из неравенств и должно выполняться точно. Другими словами, при использовании и вместо и может произойти увеличение не более одной вероятности а или

Таким образом, можно сделать следующий вывод: использование а и вместо и не приводит к сколько-нибудь существенному увеличению величин а или Другими словами, для всех практических

целей критерий, которому соответствуют обеспечивает по крайней мере такую же гарантию от неправильного решения, как и критерий

Мы оставили до сих пор открытым вопрос о том, может ли привести использование а и вместо и к существенному уменьшению а или или их обоих. Если бы было так, то это означало бы, что критерий обеспечивает лучшую гарантию против неправильного решения, чем критерий Таким образом, единственный ущерб, который может появиться в результате использования а и вместо и заключается в том, что это может привести к заметному увеличению числа наблюдений, требуемых в критерии. Действительно, так как а и то число наблюдений, необходимых в критерии с никогда не будет меньше числа наблюдений, необходимых в критерии с Таким образом, если показать, что увеличение числа наблюдений, обусловленное заменой и на и мало и не имеет практического значения, то критерий с достаточно хорошо удовлетворяет поставленным целям; поэтому определение точных значений и не представляет большого интереса.

Покажем теперь, почему при замене точных значений на приближенные а возрастание числа необходимых наблюдений, вообще говоря, незначительно 1). В выражениях (3.21) и (3.22) стоят неравенства, а не равенства, так как последовательный процесс может окончиться при или при Если бы на последней стадии было точно равно или В, то и были бы точно равны — и соответственно. Другими словами, возможное превышение границ при окончании процедуры проверки

обусловлено только дискретностью числа наблюдений, т. е. тем фактом, что число наблюдений может принимать только целые значения. Если бы были возможны дробные наблюдения, т. е. если бы число наблюдений было бы непрерывной величиной, то также было бы непрерывной функцией от следовательно, были бы точно равны а и Следовательно, и незначительность возрастания необходимого числа наблюдений при использовании объясняется тем обстоятельством, что разница между так же как и между возникает из дискретности числа наблюдений.

В § 3.9 будет дана верхняя оценка увеличения среднего числа наблюдений, обусловленного использованием а Численные расчеты, данные в том же параграфе, показывают, что это возрастание незначительно. Можно добавить, что чем ближе распределение к распределению тем меньше возрастание среднего числа наблюдений. Это объясняется тем, что чем ближе тем меньше ожидаемое превышение границ следовательно, тем меньше разница между , так же как и между и . Если приближается к то точные значения величин приближаются к .

Следовательно, если экспериментирование не очень дорого стоит, то для всех практических случаев может быть сформулировано следующее правило: если желателен такой последовательный критерий, у которого вероятность ошибки первого рода не превосходит а, а вероятность ошибки второго рода не превосходит , то надо полагать проводить последовательный критерий отношений вероятностей в соответствии с неравенствами (3.1), (3.2), (3.3).

Тот факт, что для практических целей можем положить приводит к удивительной особенности последовательного критерия по сравнению с обычными критериями. В то время как обычные критерии нельзя рассчитать без определения закона распределения вероятностей статистики, на которой основан критерий, при расчете последовательного критерия не возникает проблемы разыскания

распределения. Действительно, а зависят только от а и В, и отношение может быть вычислено на основе данных задачи без нахождения каких-либо распределений. Вопросы распределения в связи с последовательным процессом возникают лишь при нахождении закона распределения числа наблюдений, необходимого для принятия окончательного решения. Но это является вопросом второстепенной важности, поскольку известно, что последовательный критерий приводит в среднем к уменьшению числа наблюдений.