§ 4.2. Проверка сложных гипотез

4.2.1. Обсуждение важного частного случая.

Часто возникает важная задача проверки гипотезы о том, что неизвестный параметр не превосходит определенной величины Эта задача имеет особую важность при контроле качества промышленной продукции. Важность ошибок первого рода (отклонения гипотезы когда она верна) или ошибок второго рода (принятие гипотезы когда она

неверна) обычно изменяется с изменением величины . Если, например, лишь несколько меньше то отклонение гипотезы нельзя рассматривать как серьезную ошибку. Аналогично, если лишь слегка превосходит величину , то принятие гипотезы также нельзя считать серьезной ошибкой. Вообще важность ошибки первого рода будет постоянно увеличиваться с уменьшением величины в области а важность ошибки второго рода будет непрерывно увеличиваться с увеличением величины в области Таким образом, можно определить такие две величины что ошибка первого рода будет иметь уже практическое значение для а ошибка второго рода будет иметь практическое значение для в то время как для величин 0, расположенных между в достаточной степени безразлично, какое решение будет принято. Следовательно, областью принятия можно считать совокупность всех величин областью отклонения — совокупность всех величин и областью безразличия — совокупность всех величин 0, для которых справедливы неравенства

Исходя из описанной ситуации, мы хотим подобрать такой критерий, при котором вероятность ошибки первого рода была бы меньше или равна заранее заданной величине а для всех а вероятность ошибки второго рода была бы меньше или равна заранее заданной величине для всех . В большинстве важных практических случаев, когда х имеет нормальное, биномиальное или пуассоновское распределение, последовательный критерий отношений вероятностей силы будучи применен к проверке гипотезы относительно единственной конкурирующей гипотезы обладает желательными для нас свойствами и обеспечит удовлетворительное решение задачи. Если последовательный критерий отношений вероятностей приводит к принятию гипотезы то принимаем первоначальную гипотезу , а если этот критерий приводит к отклонению гипотезы то отклоняем и первоначальную гипотезу

В качестве иллюстрации рассмотрим кратко следующий пример. Предположим, что партия товара, состоящая из большого числа промышленных изделий, подвергается приемочной проверке. Будем считать, что каждое изделие может быть либо дефектным, либо недефектным. Доля дефектных изделий в партии предполагается неизвестной.

Желательность принятия или браковки партии товара, ко нечно, зависит от величины При этом можно выбрат такие две величины например что браковка партии является ошибкой, имеющей практическое значение, если и принятие партии также является ошибкой, имеющей практическое значение, если Если величина лежит между то для нас в известной степени безразлично, какое значение будет принято. Таким образом, область принятия определяется неравенством область отклонения — неравенством и область безразличия — неравенствами Следовательно, мы должны подобрать такой критерий, при котором вероятность браковки партии была бы меньше или равна заданной величине а при всех и вероятность принятия партии была бы меньше или равна заданной величине при всея Такой критерий получим в случае, если применим последовательный критерий отношений вероятностей силы к проверке гипотезы относительно единственной альтернативы Чтобы вычислить отношение вероятностей для данной задачи, обозначим через количество дефектных изделий среди проверенных изделий. Вероятность получения выборки, совпадающей с наблюденной, равна

когда и равна

когда Тогда

Сама проверка проводится следующим образом. Продолжаем наблюдения до тех пор, пока остаются справедливы неравенства Если на каком-либо этапе наблюдения окажется, что то

проверка оканчивается браковкой партии, а если окажется, что то проверка оканчивается приемкой партии. Для практических целей можем взять

Детальное рассмотрение задачи о приемочном контроле в случае, когда каждое изделие может оказаться либо дефектным, либо недефектным, проводится в гл. 5.

Вторым примером проверки гипотезы может служить случай, когда неизвестное среднее значение нормального распределения с известной дисперсией. В этом случае мы опять можем выбрать такие две величины что ошибка первого рода имеет практическое значение лишь при а ошибка второго рода имеет практическое значение лишь при Для величин 0, расположенных между не имеет особого значения, какое решение будет принято. При такой ситуации мы должны выбрать критерий, для которого вероятность совершения ошибки первого рода была бы меньше или равна заранее заданной величине а для всех 0, удовлетворяющих неравенству а вероятность совершения ошибки второго рода не превосходила бы для всех заранее заданной величины Эти условия будут выполнены, если применить последовательный критерий отношений вероятностей силы к проверке гипотезы относительно единственной конкурирующей гипотезы Плотность вероятностей выборки определится выражением

когда и

когда Наблюдения производятся все время, пока удовлетворяются неравенства Если на некотором этапе испытания то мы отклоняем гипотезу

Если на некотором этапе испытания то мы принимаем гипотезу В этом случае мы также берем