П. 5. Характеристическая функция и высшие моменты величины n

П.5.1. Вывод приближенных формул при пренебрежении перескоком границ накопленной суммой.

Пусть будет случайной величиной, определенной следующим образом: если если Обозначим разность через Тогда является случайной величиной.

В этом параграфе будем пренебрегать величиной т. е. будем подставлять нуль вместо Такая замена не приведет к ошибке в частном случае, когда принимает только два значения: а и —а, а отношения являются целыми числами, так как при этом точно равна 0. За исключением этого частного случая, никогда не будет точно равна 0. Однако, чем меньше тем меньше будет ошибка, вызванная пренебрежением Действительно, для произвольно малых положительных чисел и 82 неравенство будет выполняться в том случае, если являются достаточно малыми. Таким образом, в предельном случае, когда приближаются к нулю, случайная величина становится константой, равной нулю.

Как и в предыдущем параграфе, все вероятностные утверждения и все математические ожидания будут относиться к случаю, в котором истинным значением параметра является 0; мы не будем специально отмечать это обстоятельство в

формулах при помощи индекса в символах Пусть будет производящей функцией моментов 2, т. е.

Для вывода приближенной характеристической функции величины рассмотрим уравнение

где есть чисто мнимая величина. Предположим, что удовлетворяет условиям леммы П. 1. Тогда в соответствии с леммой П. 1 уравнение имеет точно два действительных корня относительно равные Кроме того, не равны нулю. Следовательно, если несингулярна при то уравнение для достаточно малых имеет такие два корня что

Тождество может быть записано в виде

где означает вероятность того, что процедура испытаний приводит к принятию означает условное математическое ожидание при условии, что процесс приводит к принятию условное математическое ожидание при условии, что процесс приводит к отклонению Пренебрегая перескоком величины границ, получаем когда процесс приводит к принятию когда процесс приводит к отклонению Следовательно, может быть записано в виде

Это тождество справедливо для всех значений при которых Полагая получаем из

и

Решая эти уравнения относительно получаем

и

для всех мнимых значений

Безусловное математическое ожидание очевидно, равно

Следовательно, характеристическая функция величины определяется выражением

для всех мнимых

По определению математическое ожидание является характеристической функцией величины дает искомое приближение для случая, когда можно пренебречь перескоком границ величиной Из наших выводов получаются также приближенные формулы для Функция может быть истолкована как характеристическая функция условного распределения величины при условии, что процесс приводит к принятию а функция как характеристическая функция распределения величины в совокупности выборок, приводящих к браковке

В качестве иллюстрации определим для случая, когда имеет нормальное распределение. Обозначим через [а среднее значение а через о — стандартное отклонение величины Тогда уравнение можно записать в виде

Следовательно,

Таким образом,

и

где знак корня определяется так, что действительная чаеть корня — является положительной.. Подставляя величины получим для случая нормального распределения величины 2. В соответствии с формулой (3.43), приближенная формула для определяется выражением

Для нормально распределенной величины имеем

Интересно рассмотреть два предельных случая: 1) и А — конечная положительная величина, 2) В — конечная положительная величина и Можно показать, что будет конечной в случае 1) только при Точно так же будет конечной в случае 2), если Таким образом, в случае 1) предположим, что а в случае 2) — Для получения характеристической функции величины в случае 1) необходимо определить предельное значение правой части при Для этой цели выведем сначала предельное значение величины при Так как в случае 1) предполагается то величина как показано в пункте должна быть отрицательной. Следовательно, для малых действительная часть отрицательна. С другой стороны, действительная часть стремится к нулю при Таким образом, для малых действительная часть отрицательна, и поэтому

и из соотношения следует, что при правая часть уравнения стремится к

Таким образом, если то характеристическая функция величины в случае 1) определяется выражением

П. 151). Если нормально распределено, то определяется Следовательно, для нормально распределенной при характеристическая функция от в случае 1) определяется

В случае 2) мы предположили Следовательно, и — будут иметь при малых положительную действительную часть. Таким образом,

Из следует, что предельное значение правой части уравнения при равно

Таким образом, если то характеристическая функция в случае 2) определяется выражением

Моменты величины можно получить дифференцированием характеристической функции Для любого положительного целого числа начальный момент порядка величины определяется равенством

Можно также получить условные моменты величины при условиях, что В или Пусть означает условное математическое ожидание величины при и пусть означает математическое ожидание величины при Тогда получаем

где являются условными характеристическими функциями, определенными

Интересно заметить, что а следовательно, и можно получить непосредственно из тождества последовательным дифференцированием. Действительно, (П. 138) можно записать в виде

Дифференцируя раз по при получим систему из линейных уравнений с неизвестными

из которой можно определить эти неизвестные. Например, и можно определить следующим образом. Дифференцируя по получим

Полагая получим уравнения

и

из которых можно определить