1.1.2. Интегральная функция распределения случайной величины.

Обозначим через вероятность того, что случайная величина х принимает значение меньше являющаяся функцией называется интегральной функцией распределения величины х. Поскольку любая вероятность должна лежать в интервале между и 1, то для всех значений имеем: Если таковы, что вероятность того, что будет больше или равна вероятности того, что т. е. Другими словами, функция не может уменьшаться с возрастанием

Рис. 1.

Типичная форма интегральной функции распределения показана на рис. 1, где по горизонтальной оси отложено а по вертикальной функция

Зная интегральную функцию распределения легко можем для любых заданных определить вероятность того, что Действительно, поскольку события несовместны, то вероятность осуществления какого-либо из этих событий будет равна сумме вероятностей осуществления каждого из событий, т. е.

(см. скан)

Поскольку вероятность осуществления какого-либо из этих двух событий или совпадает с вероятностью осуществления события то в соответствии с соотношением (1.1) имеем

Следовательно, искомая вероятность осуществления события будет равна

В случае, когда случайная величина х является результатом измерения какой-либо характеристики объекта, случайным образом выбранного из группы объектов, можно дать простое толкование интегральной функции распределения Как указывалось в п. 1.1.1, в этом случае вероятность того, что наблюденная величина х удовлетворяет некоторому равенству или неравенству (скажем, или равна относительной доле (в данной группе из объектов) таких объектов, для которых величина х удовлетворяет соответствующему равенству или неравенству. Таким образом, просто определяет относительную долю тех объектов, для которых При таком истолковании вероятностей соотношение (1.2) становится очевидным. Оно, собственно, утверждает, что относительное количество объектов, для которых равно относительному количеству объектов, для которых плюс относительное количество объектов, для которых Группа из объектов часто называется генеральной совокупностью. До сих пор мы рассматривали только генеральные совокупности, содержащие конечное число объектов. Такие генеральные совокупности называются конечными.

Истолкование вероятности события, для которого выполняется определенное соотношение (равенство или неравенство), как относительной доли в данной генеральной совокупности таких элементов, для которых величина х удовлетворяет этому соотношению, оказывается во многих случаях весьма полезным, и мы будем им часто пользоваться. Однако такая интерпретация вероятностей не всегда возможна, если мы не ограничиваемся конечными генеральными совокупностями. Действительно, интегральная функция распределения, связанная с конечной генеральной совокупностью, имеет свои особенности.

Предположим, что генеральная совокупность состоит из элементов. Тогда случайная величина х может принимать не более различных значений. Пусть различные значения, которые может принимать величина х, причем эти значения расположены в возрастающем порядке, Ясно, что Если величина х одинакова для нескольких элементов, то Интегральная функция распределения в этом случае будет иметь вид ступенчатой кривой, показанной на рис. 2.

Рис. 2.

Функция распределения будет иметь ровно скачков, причем величина каждого скачка будет равна либо либо целому числу, умноженному на Интегральная функция распределения, представленная непрерывной кривой рис. 1, очевидно, не относится к этому типу.

Таким образом, если интегральная функция распределения является непрерывной кривой, то истолкование вероятностей как относительной доли определенных элементов конечной генеральной совокупности оказывается невозможным. Однако любую непрерывную интегральную функцию распределения можно с любой заданной точностью аппроксимировать ступенчатой интегральной функцией распределения, связанной с конечной генеральной совокупностью, если только число элементов в последней достаточно велико. Таким образом, любую непрерывную интегральную функцию распределения можно считать предельной формой интегральной функции распределения, связанной с конечной генеральной совокупностью. Предел достигается при бесконечном возрастании числа элементов в этой генеральной

совокупности. Это означает, что если мы допускаем существование бесконечной генеральной совокупности (генеральной совокупности с бесконечно большим числом элементов), то любую вероятность, связанную с этой совокупностью, всегда можно истолковать как относительную долю соответствующих элементов совокупности. Конечно, понятие бесконечной генеральной совокупности является просто полезной абстракцией, вводимой лишь для упрощения теории.

В качестве примера бесконечной генеральной совокупности рассмотрим эксперимент, заключающийся в измерении длины некоторого стержня. Исход каждого измерения можно считать случайной величиной, характеризующейся интегральной функцией распределения Тогда бесконечной генеральной совокупностью будет бесконечная последовательность повторяющихся измерений длины стержня, так что каждое действительно произведенное измерение можно считать элементом этой совокупности. Иногда генеральная совокупность является конечной, но число элементов этой совокупности настолько велико, что оказывается удобнее рассматривать задачи, связанные с этой совокупностью, так, как если бы было бесконечным, т. е. как если бы генеральная совокупность была бесконечной. Предположим, например, что мы интересуемся распределением роста всех женщин в возрасте 20 лет и старше, проживающих в Соединенных Штатах. Очевидно, что количество таких индивидуумов настолько велико, что можно рассчитывать на значительные математические упрощения, если считать генеральную совокупность таких индивидуумов бесконечной.