ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОД ЗНАКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ В ОСНОВНОМ ТОЖДЕСТВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО АНАЛИЗА

А. Вальд

1. Введение.

Пусть есть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Пусть а есть положительная, а отрицательная константы. Для каждого целого положительного числа обозначим через сумму Через обозначим наименьшее целое число, для которого находится вне открытого интервала Для любой случайной величины и символом обозначим математическое

ожидание и. Основную роль в последовательном анализе играет следующее тождество, выведенное Вальдом,

где

а распределена по закону каждой из величин Тождество (1.1) имеет место при всех комплексной плоскости, для которых существует и

Цель настоящей статьи заключается в отыскании условий, при которых можем дифференцировать (1.1) по под знаком математического ожидания. Найти эти условия чрезвычайно интересно, так как большое число результатов в последовательном анализе может быть легко получено дифференцированием (1.1) под знаком математического ожидания. Например, формула для может быть сразу получена дифференцированием (1.1) при Производная от при равна

где производная Следовательно, если дифференцирование (1.1) под знаком математического ожидания законно, то получаем основную формулу

При эта формула была использована Вальдом при выводе нижней и верхней границ для Если то эта формула бесполезна. В пункте 3 будет показано, что

когда

Этот результат, как увидим в пункте 3, получается дифференцированием тождества (1.1) при

2. Необходимые условия для дифференцирования (1.1) под знаком математического ожидания.

В дальнейшем параметр в (1.1) будем считать действительным, если даже это явно не оговаривается. Для любой случайной величины и

и любых условий символом будем обозначать условное математическое ожидание величины и, если выполнены условия В этом разделе докажем следующую теорему.

Теорема 2.1. Если существует для всех действительных то тождество (1.1) можно дифференцировать по под знаком математического ожидания любое число раз, если только принадлежит области, где

Доказательство. Сначала найдем верхнюю границу для где любое целое число. Рассмотрим случай Тогда

Очевидно,

Пусть обозначает верхнюю грань выражения

относительно из интервала 1). Существование обеспечивает конечность Из (2.1) и (2.2) следует

откуда вытекает

Если то посредством аналогичных рассуждений можно показать, что

и

Для доказательства теоремы 2.1 достаточно доказать справедливость следующих утвержденийх).

Утверждение 2.1. Все производные по функции существуют в области

Утверждение 2.2. Для любого целого положительного числа и для любого конечного интервала I, в котором можно найти функцию такую, что

для всех из I и

Утверждение 2.1, очевидно, справедливо, если существуют все производные от Существование этих производных следует из существования для всех

Так как равняется сумме конечного числа членов вида то утверждение 2.2 будет доказано, если будет доказано существование для любых целых величин такой функции что

для любых из и

Так как

где верхняя граница для Пусть некоторая величина Тогда для некоторой подходящим образом выбранной константы С имеем

Следовательно, из (2.12) и (2.13) следует

для всех из Положим

Тогда имеем

где обозначает вероятность того, что

Таким образом, из (2.4) и (2.6) получаем

Поскольку все моменты конечны, утверждение 2.2 доказано. Этим заканчивается доказательство теоремы 2.1.

3. Математическое ожидание n при E(z) = 0.

В этом пункте будет показано, что

если тождество (1.1) можно дважды дифференцировать под знаком математического ожидания при Вторая производная по равна

где обозначает первую, а вторую производные Так как то, полагая в выражении (3.2), получаем

Следовательно, если (1.1) можно дважды дифференцировать при под знаком математического ожидания, то из (3.1) следует

Приближенная величина может быть получена из (3.1), если пренебречь перескоком границ. В этом случае может равняться только а или Таким образом,

где знак обозначает приближенно равенство.

Было показано (см. работу Вальда, цитированную в сноске на стр. 276, уравнение 28), что, пренебрегая перескоком границ, можно получить приближенную формулу

где отличный от нуля корень уравнения Эта формула выведена там при условии, что Если приближается к нулю, то и правая часть (3.6) стремится к

Полагая в получаем

Следовательно,

Границы для могут быть получены из границ для Пусть есть неотрицательная действительная величина. Легко убедиться, что

и

Поскольку

то пределы для могут быть получены заменой условных математических ожиданий в правой части (3.11) на их границы, данные в (3.9) и (3.10).