П.8.2. Приложение к проверке средних значений независимых нормально распределенных случайных величин с известными дисперсиями.

Пусть случайных величин нормально распределены и имеют одну и ту же известную дисперсию Средние значения считаются неизвестными. Предположим, что требуется проверить гипотезу о том, что Допустим, что зона предпочтения браковки гипотезы задается неравенством

где является заданной положительной величиной. Тогда границей области , является сфера с центром и радиусом . Пусть постоянна на и равна обратной величине площади Покажем, что для этой весовой функции выполняются условия 1) и 2) предыдущего пункта. Для этой цели докажем сначала, что отношение является монотонно возрастающей функцией

от где является средним арифметическим наблюдений Действительно, в нашем, случае отношение сводится к

где с равно обратному значению площади поверхности сферы Пусть величина означает и пусть означает угол между векторами Тогда можно записать в виде

Вследствие симметричности сферы значение не изменится, если подставить вместо где означает угол между вектором и произвольно выбранным фиксированным вектором и. Отсюда следует, что значение зависит только от Теперь покажем, что является строго возрастающей функцией от Для этой цели необходимо показать, что

является строго возрастающей функцией от Имеем

Обозначим через подобласть в которой через — подобласть, в которой Вследствие симметричности сферы

Следовательно,

Правая часть является положительной. Таким образом, доказано, что выражение или является строго возрастающей функцией от

Покажем теперь, что постоянна на любой сфере с центром 0° и радиусом и что при возрастании она монотонно убывает. Пусть будет таким ортогональным линейным преобразованием при котором и то видим, что последовательность величин полученная для последовательности целых чисел имеет совместное распределение, которое зависит только Поэтому является постоянной для любой сферы Так как является строго монотонной функцией от то можно показать, что является монотонно убывающей функцией при возрастании Следовательно, условия 1) и 2) предыдущего пункта выполняются и можно проверить гипотезу при помощи последовательного критерия отношений вероятностей, основанного на отношении

Если если мы проверяем среднее значение единственной случайной величины то сферой является нульмерная сфера, состоящая из двух точек превращается в отношение которые определяются формулами (4.8) и (4.9) пункта 4.1.4.