П.9.2. Применение к проверке среднего значения нормального распределения с неизвестной дисперсией (последовательный t-критерий).

Пусть X будет нормально распределенной случайной величиной с неизвестным средним значением и неизвестной дисперсией Предположим, что мы хотим проверить гипотезу Кроме того, допустим, что а) определяется совокупностью всех точек для которых в то время как состоит из всех точек Тогда граница области состоит из всех точек для которых т. е. она содержит точки для которых или или

Для любого положительного значения с определим весовые функции следующим образом: если а с, и равна для всех других значений о; весовая функция равна если и равна в противном случае. Пусть

и

Тогда

Рассмотрим предельный случай, когда с Тогда

Последовательный критерий отношений вероятностей, основанный на отношении будет давать решение нашей задачи, если покажем, что он обладает следующими

тремя свойствами: является постоянной в а) является функцией только от монотонно бывает при возрастании Чтобы доказать эти три свойства, положим

и

Так как совместное распределение последовательности выражений соответствующих последовательным значениям зависит только от первые два свойства будут доказаны, если мы покажем, что отношение является однозначной функцией от Сначала покажем, что числитель отношения является однородной функцией степени от Действительно, вводя преобразование получаем

Это доказывает, что числитель является однородной функцией от степени

Точно так же можно показать, что знаменатель является тоже однородной функцией степени Таким образом, отношение является однородной функцией нулевой степени относительно переменных

Можно проверить, что является функцией только двух выражений:

Пусть Так как является однородной функцией нулевой степени относительно то ее значение не изменится при подстановке вместо Следовательно,

Так как

то

Так как является однозначной функцией то мы доказали, что является однозначной функцией от Следовательно, свойства 1) и 2) доказаны.

Для доказательства свойства 3) последовательного критерия отношений вероятностей, основанного на отношении достаточно показать, что является строго возрастающей функцией от Так как является строго возрастающей функцией от то остается показать, что является строго возрастающей функцией

Последнее утверждение будет доказано, если

покажем, что возрастает при увеличении и фиксированном v. При фиксированном значении v знаменатель отношения постоянен. Таким образом, надо показать, что числитель возрастает при увеличении и фиксированном . А это следует из того, что

является строго возрастающей функцией от