ПРИЛОЖЕНИЯ

П.1. Доказательство того, что с вероятностью, равной единице, последовательный критерий отношений вероятностей рано или поздно закончится

Последовательный критерий отношений вероятностей оканчивается на испытании, где является наименьшим целым числом, для которого или

или

где

Пусть Разобьем бесконечную последовательность на интервалы длиной где является некоторым положительным числом. Таким образом, первый интервал будет состоять из элементов второй интервал из В общем интервал будет состоять из элементов

Пусть означает сумму элементов интервала. Нетрудно убедиться в том, что если бесконечная последовательность такова, что последовательный процесс никогда не окончится, то должно выполняться следующее неравенство

Неравенство может быть записано в виде

Следовательно, для доказательства того, что с вероятностью, равной единице, последовательный процесс рано или

поздно окончится, достаточно показать, что вероятность выполнения при всех целых значениях равна нулю. Для любого заданного положительного целого числа обозначим через вероятность того, что Распределение величины должно быть одинаково для всех значений так как являются независимыми случайными величинами с одним и тем же законом распределения. Следовательно, и не зависит от поэтому обозначим ее через Так как распределены независимо, то вероятность совместного выполнения неравенства для равна Следовательно, для доказательства того, что вероятность выполнения при всех значениях равна 0, достаточно показать, что Если математическое ожидание величины больше то должно быть меньше единицы. Так как дисперсия по предположению не равна нулю, то математическое ожидание величины может быть сделано произвольно большим соответствующим выбором достаточно большим числом элементов в интервале. Таким образом, и мы доказали теорему: с вероятностью, равной единице, последовательный критерий отношений вероятностей рано или поздно окончится.