ВВЕДЕНИЕ

Последовательный анализ является методом статистического исследования, характерная черта которого заключается в том, что количество наблюдений, необходимых в процессе испытания, заранее не определено. Решение об окончании эксперимента зависит на каждой данной стадии эксперимента от результатов предыдущих наблюдений. Достоинство данного метода, применительно к проверке статистических гипотез, заключается в том, что он позволяет сконструировать такую методику проверки, которая требует, в среднем, существенно меньшего числа наблюдений, чем равная ей по надежности проверка, основанная на заранее определенном количестве наблюдений.

Настоящая книга представляет собой теорию одного частного метода последовательного анализа, так называемого последовательного критерия отношений вероятностей, который был предложен автором в 1943 г. главным образом для целей проверки статистических гипотез. Сравнение этого частного последовательного критерия с любым другим (последовательным или непоследовательным) показывает (см. раздел П. 7 приложений), что он дает наибольший возможный выигрыш в среднем числе наблюдений, которые необходимы при проверке простой гипотезы относительно единственной конкурирующей гипотезы. Последовательный критерий отношений вероятностей зачастую требует примерно на 50% меньше наблюдений, чем наиболее эффективный критерий, основанный на фиксированном количестве наблюдений.

Впервые идея о последовательной методике проверки, т. е. о проверке, для которой количество наблюдений не определено заранее, а зависит от исхода наблюдений по мере их проведения, была высказана Доджем и Ромигом, которые

предложили методику проверки с двойной выборкой. В соответивии со схемой этих авторов, решение о взятии второй выборки принимается на основе результатов наблюдений в первой выборке. На основе этого метода, допускающего только две выборки, Бартки впоследствии разработал методику проверки, основанную на многих выборках, применительно, однако, лишь к частному случаю проверки среднего значения биномиального распределения. Его схема близка к схеме проверки, которая получается при применении последовательного критерия отношений вероятностей к этому частному случаю. Причина, побудившая Доджа и Ромига предложить методику проверки, основанную на двух выборках, а Бартки — разработать метод, основанный на многих выборках, заключается в том, что при этом требовалось, в среднем, меньшее число наблюдений, чем в случае «единственной» выборки.

Эти немногие работы по созданию методики эксперимента, состоящей из последовательных стадий, можно считать предшественниками последовательного анализа. Идея таких «цепных» экспериментов была вкратце рассмотрена Хотеллингом. Очень интересным примером этих экспериментов является последовательность выборочных переписей участков, занятых под джутом в Бенгалии, которая была проведена под руководством Махаланобиса. Выборочная перепись, постепенно увеличивающаяся в объеме, была предпринята первоначально с целью получения предварительных данных о параметрах, подлежащих последующей оценке. Эта информация была затем использована для определения конечной выборки всей огромной площади, занятой под джутом в Бенгалии.

Проблема последовательного анализа возникла в Группе статистических исследований Колумбийского университета

в связи с некоторыми замечаниями, высказанными капитаном Шульцем из Артиллерийского управления Министерства военно-морского флота. Милтон Фридман и В. Аллен Валлис увидели большие возможности и далеко идущие последствия, которые могло иметь применение последовательного анализа к дальнейшему развитию теоретической статистики. В частности, они предположили, что можно сконструировать такую методику последовательного анализа, для которой возможные ошибки, связанные с принятием ложных решений, были бы точно такими же, как и у лучшей из существующих методик проверок, основанных на заранее определенном количестве наблюдений, и которая в то же время требовала бы, в среднем, существенно меньшее количество наблюдений, чем фиксированное количество наблюдений, необходимое при существующей методике проверки. Фридман и Валлис предложили также несколько примеров модификаций существующей методики проверки в смысле последовательного анализа, получив в результате в ряде случаев увеличение эффективности критерия. Проблема последовательного анализа находилась в описанном здесь состоянии, когда они предложили автору заняться ею. Это предложение побудило меня заняться исследованиями, которые привели к созданию последовательного критерия отношений вероятностей.

Поскольку последовательный критерий отношений вероятностей оказался применимым к конструкторским работам в области военного и военно-морского оборудования, мне было предложено изложить свои результаты в предварительном отчете, датированном сентябрем 1943 г. В этом отчете кратко излагалась методика последовательного критерия отношений вероятностей и давались основы теории этого критерия. Чтобы облегчить использование этой новой методики армией и военно-морским флотом, Группа статистических исследований выпустила в июле 1944 г. второй отчет, в котором приводилось элементарное, нематематическое описание

приложений последовательного критерия отношений вероятностей и содержалось значительное количество таблиц, графиков и расчетных соотношений, которые облегчали использование этой теории.

Дальнейшее развитие теория последовательного критерия отношений вероятностей получила в 1944 г. Для случая биномиального распределения Милтоном Фридманом и Георгом В. Брауном (независимо друг от друга) была получена оперативная характеристика последовательного критерия отношений вероятностей, которая была несколько раньше получена также Стокманом в Англии. Вслед за этим мною было получено общее выражение для оперативной характеристики любого последовательного критерия отношений вероятностей. Несколькими месяцами позже была развита теория коммулятивных сумм, которая давала не только оперативную характеристику любого последовательного критерия отношений вероятностей, но также и характеристическую функцию для количества наблюдений, необходимых при этом критерии, и различные другие результаты.

Материалы этого отчета вместе с новыми результатами, полученными в 1944 г., были опубликованы в статье «Sequential test of statistical hypotheses» в журнале The Annals of Mathematical Statistics в июне 1945 г. Группа статистических исследований в 1945 г. выпустила пересмотренное издание своего первоначального отчета. Это пересмотренное издание включало в себя также применение оперативной характеристики и функции среднего числа наблюдений к

различным приложениям последовательного критерия отношений вероятностей.

Независимо от исследований, проводившихся в США, и примерно в то же самое время Бернард указал на достоинства последовательного метода проверки. Он рассматривал задачу двойного последовательного деления целого на две части, используя тем самым последовательный метод проверки, который, однако, отличался от проверки, получающейся при применении к этой задаче последовательного критерия отношений вероятностей.

Настоящая книга состоит из трех частей, а также приложений. В части I обсуждается общая теория последовательного критерия отношений вероятностей. В части II рассматриваются приложения общей теории, данной в части I. Эти приложения предназначены в основном для иллюстрации общей теории, однако представляют также и известный теоретический интерес в связи со спецификой этих приложений. При этом дается лишь немного расчетных формул и приводится сравнительно мало таблиц. В части III дается краткое изложение возможного подхода к задаче последовательных многозначных решений и оценок. Эта область в значительной мере не исследована, и дальнейшее развитие ее — дело будущего.

Для облегчения использования книги теми читателями, которые не имеют достаточного математического образования, все сколько-нибудь сложные математические выводы вынесены в приложения.