§ 3.9. Увеличение среднего числа наблюдений, обусловленное заменой точных значений A(a,b) и B(a,b) на ...

Величины являются значениями для которых вероятности ошибок первого и второго рода, связанных с последовательным критерием отношений вероятностей, точно равны В § 3.3 было рекомендовано заменять

Это может привести к незначительному увеличению среднего числа наблюдений, так как а

В данном параграфе производится количественная оценка такого увеличения среднего числа наблюдений.

В § 3.5 была получена следующая приближенная формула для среднего числа наблюдений

Так как то из (3.96) получаем

и

Здесь означает математическое ожидание величины когда справедлива 0.

Таким образом, изменения математических ожиданий обусловленные использованием а вместо соответственно, определяются выражениями

и

Формулы (3.99) и (3.100) являются, так же как и формулы (3.97) и (3.98), приближенными. Однако, если бы ошибки в формулах (3.97) и (3.98), т. е. если разности

и

были бы совершенно независимы от величин то в (3.99) и (3.100) знак равенства выполнялся бы точно. Можно показать, что небольшие изменения величин чрезвычайно мало сказываются на разностях (3.101), и поэтому (3.99) и (3.100) являются достаточно хорошими приближениями.

Выведем верхние границы Для членов правой части (3.99) и (3.100). Так как являются отрицательными, положительным, то

Аналогично, так как положительны, а отрицателен, то

Таким образом, для всех практических целей

является верхней границей а

является верхней границей для Но точные значения и неизвестны, поэтому полученными границами пользоваться нельзя. Так как то оценка сверху выражения

получится, если подставить вместо А ее верхнюю границу. Так как то верхний предел выражения

может быть получен, если подставить вместо ее нижнюю границу.

Из формул и приложения легко получить неравенства

где величины определяются равенствами и Для биномиального и нормального законов распределения величины вычислены в явной форме. Таким образом, приходим к следующему результату: для всех практических целей можно рассматривать как верхнюю границу величины как верхнюю границу величины

В качестве примера рассмотрим случай, в котором распределение при является нормальным с нулевым средним значением и единичной дисперсией, а распределение при

также является нормальным с единичной дисперсией и средним значением Так как для нормального распределения уравнение и то верхняя граница величины точно такая же, как и верхняя граница Эта верхняя граница зависит только от величины 0. Для любой пары и для любого положительного целого числа существует только одно значение такое, что для наиболее мощного критерия силы необходимо наблюдений. Таким образом, каждой паре и целому числу можно сопоставить только одно значение 0. В табл. 4 приводится общая верхняя граница величин и Драссчитанная для значений 0, соответствующих различным парам и целым числам

Таблица 4 (см. скан) Увеличение среднего числа наблюдений, обусловленное использованием приближенного критерия для окончания последовательного процесса

Для практических целей данные таблицы можно рассматривать как верхние границы точных коэффициентов увеличения. Таблица составлена для случая среднего значения нормально распределенной случайной величины, причем разница между нулевой и конкурирующей гипотезами устанавливалась для каждой пары значений таким образом, чтобы число наблюдений в наилучшем обычном критерии равнялось значениям, приведенным в левой колонке.