2.3.2. Требования, предъявляемые к оперативной характеристике.

Предположим, что согласно проверяемой гипотезе истинная параметрическая точка принадлежит к некоторому множеству параметрических точек. Тогда для нас желательно, чтобы вероятность принятия гипотезы была как можно больше, когда принадлежит к и была как можно меньше, когда не принадлежит к множеству Поскольку вероятность принятия гипотезы равна, по определению, оперативной характеристике то нам желательно иметь такую функцию которая имела бы ббльшую величину для всех 0, принадлежащих к множеству и меньшую величину для всех 0, не принадлежащих к этому множеству

Рис. 7.

Пусть, например, имеется только один неизвестный параметр и надо проверить гипотезу о том, что Тогда идеальная оперативная характеристика должна быть равна единице при и нулю при (рис. 7).

Исходя из той неполной информации относительно 0, которая заключена в случайной выборке из генеральной совокупности, нельзя, вообще говоря, получить идеальную оперативную характеристику, но мы можем как угодно близко подойти к этому идеалу, если будем исходить из достаточно большой выборки.

Чем ближе оперативная характеристика к указанной идеальной характеристике и чем меньше среднее число необходимых наблюдений, тем более желательным является данный последовательный критерий. Эти две основные характеристики критерия накладывают на него противоречивые ограничения, так как чем ближе будет наша оперативная характеристика к своей идеальной форме, тем, вообще говоря, большее число наблюдений потребуется во время испытания. Для достижения компромисса можно поступать следующим образом. Сначала сформулируем требования, предъявляемые к оперативной характеристике, касающиеся близости ее к идеальной оперативной характеристике, и в дальнейшем будем рассматривать только те критерии, которые удовлетворяют этим требованиям. Из этих критериев выберем тот, для которого среднее количество необходимых наблюдений будет минимальным. Такая процедура, когда мы сначала накладываем ограничения, связанные с оперативной характеристикой, а лишь затем минимализируем среднее число наблюдений, представляется вполне оправданной, так как оперативная характеристика, вероятно, является наиболее важным показателем критерия.

Для формулировки требований, предъявляемых к оперативной характеристике, используем подразделение параметрического пространства на три области, которое введено в предыдущем пункте. Так как в области безразличия ни одно из решений не является сильно предпочтительным, то не будем накладывать никаких ограничений на поведение оперативной характеристики внутри этой области. В областях принятия и отклонения требования, предъявляемые к оперативной характеристике, можно сформулировать следующим образом. Для любой параметрической точки 0, расположенной в области принятия, вероятность отклонения гипотезы (т. е. величина должна быть меньше или равна заранее заданной величине а. Для любой параметрической точки 0, расположенной в области отклонения, вероятность принятия гипотезы (т. е. величина должна быть меньше или равна заранее заданной величине .

Таким образом, все сказанное относительно оперативной характеристики можно резюмировать следующим образом. Сначала параметрическое пространство подразделяется на три попарно непересекающиеся области: область принятия, область отклонения и область безразличия. Затем выбираются две положительные величины обе меньшие единицы. Тогда требования, предъявляемые к оперативной характеристике, определятся следующим образом;

Условие (2.1) можно также записать в виде

Подразделение параметрического пространства на три области, так же как и выбор величин осуществляется в каждом конкретном случае на основе практического рассмотрения различных аспектов данной задачи.

Рис. 8.

Мы будем говорить, что последовательный критерий допустйм, если для него удовлетворяются неравенства (2.2) и (2.3).

Типичная оперативная характеристика, удовлетворяющая условиям (2.2) и (2.3), приведена на рис. 8 для случая, когда имеется лишь один неизвестный параметр и область

прииятия определяется неравенством а область отклонения — неравенством