П.3. Верхняя и нижняя границы для функции среднего числа наблюдений последовательного критерия отношений вероятностей

П.3.1. Вывод общих формул для верхней и нижней границ.

Пусть, как и выше,

и пусть будет необходимым числом наблюдений в последовательном критерии, т. е. пусть есть наименьшее целое число, для которого либо либо Для определения математического ожидания

величины при гипотезе заключающейся в том, что истинным значением параметра является 0, зададимся положительным целым фиксированным числом Сумма может быть разбита на две части следующим образом

где если если Вычислив математическое ожидание от обеих частей равенства получим

Пусть означает вероятность того, что Тогда

где символ означает условное математическое ожидание при условии означает условное математическое ожидание при

Так как при лежит между и так как то из последних двух уравнений получаем

Для любого заданного значения случайные величины распределены независимо и имеют тот же закон распределения, что и величина Следовательно,

Из этого, а также из получаем в силу

Так как

то из уравнения следует

Следовательно,

если Пусть будет условным математическим ожиданием величины при условии, что последовательный анализ приводит к принятию т. е. что Точно так же пусть будет условным математическим ожиданием величины при условии, что принимается гипотеза т. е. что Так как является вероятностью того, что а вероятностью того, что то получаем

Из и следует

Точные значения величины следовательно, точные значения могут быть вычислены в том случае, когда может принимать только целые значения, кратные постоянной так как для этого случая получен точный закон распределения величины (см. параграф ). Если не удовлетворяет этим условиям, то можно получить достаточно хорошее приближение для величины так как распределение может быть аппроксимировано с любой желаемой степенью точности дискретным распределением упомянутого выше типа, при условии, что постоянная выбирается достаточно малой.

Если же и стандартное отклонение величины являются малыми, то приближенно равно приближенно равно Следовательно, в этом случае можно записать

Эта приближенная формула была приведена в (3.57).

Чтобы оценить качество приближения, данного выражением выведем нижнюю и верхнюю границы для для этого определим нижнюю и верхнюю границы величин

Пусть будет неотрицательной переменной и пусть

и

Легко убедиться, что

и

Из и получаем

если

если Границы, определенные выражениями и вообще близки друг к другу для значений Однако для значений 0, лежащих между разница между верхней и нижней границами может оказаться достаточно большой, так как величина при этих значениях может быть близка к нулю (или равна нулю). Действительно, мы видели, что и Следовательно, если является непрерывной функцией от 0, то имеется такое значение между для которого Для или для значений 0, близких к 0, границы, данные в и не представляют практического интереса, так как они далеки друг от друга.

Выведем границы для которые могут быть полезны для значений 0, близких к Для этой цели разложим

по формуле Тейлора

где величина X лежит между и Из и получаем

Отсюда и из вытекает

Таким образом, верхняя и нижняя границы для могут быть получены, если вывести верхние и нижние границы для Для вывода границ для запишем

где символ означает условное математическое ожидание при означает условное математическое ожидание при Пусть означает означает Тогда

и

Так как то из получаем

Определенная в величина V является нижней границей для Так как то является верхней границей для Верхнюю границу для дает величина

Следовательно,

Таким образом, мы получили границы

Точно так же могут быть получены границы для

где определяется в и

Если обозначить через нижнюю границу, а через верхнюю границу величины данные в (для в то из и получим границы для

Используя подобный метод, без труда можно вывести верхнюю и нижнюю границы для Но мы, однако, не будем выводить этих границ, так как нас интересует определение границ когда близка к 0, т. е. для таких значений 0, при которых вторым членом в правой части можно пренебречь. Покажем, что если являются непрерывными функциями, то коэффициент этих условиях стремится к нулю при Как следует из рассуждений, приведенных в пункте

то при получаем

Таким образом,

Предполагая, что является ограниченной функцией от в окрестности 0, убеждаемся, что является также ограниченной функцией от в достаточно малой окрестности Следовательно, является также ограниченной в окрестности функцией от 0. Отсюда и из следует

Из вытекает

Нижняя и верхняя границы для основанные на будут, в общем случае, близки друг к другу для значений из малой окрестности 0. Таким образом когда близко к 0, для можно использовать эти границы вместо границ, определенных выражениями и

Представляет интерес найти предельное значение когда Если является непрерывной функцией от 0, а является ограниченной в окрестности функцией от 0, то из и следует

Ограниченность может быть доказана, если математическое ожидание при является ограниченной функцией от и Так как то существует такая постоянная С, что при всех из окрестности 0. Следовательно, необходимо показать, что ограничена. Так как то достаточно показать, что ограничены. При имеем

Так как

то получаем

Выражение в правой части этого уравнения является ограниченным, так как ограничена по предположению. Следовательно, ограничена. Ограниченность можно показать таким же путем. Верхнюю и нижнюю границы для можно получить из подстановкой вместо верхней и нижней границ, данных в

Вычислим теперь приближенное значение выражения пренебрегая перескоком величиной через границы. Так как то из (3.43) получаем

Следовательно,

Таким образом, приближенное значение дается выражением

Если известна точная оперативная характеристика критерия, то для можно получить достаточно близкие границы, действующие во всем диапазоне значений 0. Покажем кратко вывод таких границ. Обозначим через распределение величины когда является истинным значением параметра. Через распределение сопряженное с распределением обозначим распределение В таких важных случаях, как биномиальное и нормальное распределения, любому заданному значению параметра будет соответствовать такая величина 0, для которой является

сопряженным с Будем называть сопряженным с . В других источниках было показано, что

Другими словами,

где лежит между и Подобно этому

где лежит между и Из получаем

и

Таким образом,

где

Так как (см. пункт П. 2.1), то Следовательно, нижняя граница для получается подстановкой в вместо

Для получения верхней границы выведем верхнюю границу для Очевидно, что

всякий раз, когда Отсюда и из получаем

всякий раз, когда Точно так же получаем

если где определяется выражением Из следует

и

Кроме того, имеем

и

Из получаем следующую верхнюю границу для

Верхние границы для получаются подстановкой в вместо Величина будет в общем мала во всем диапазоне значений 6.