§ 2.3. Принципы, на которых основывается выбор последовательного критерия

2.3.1. Зависимость от параметра O степени предпочтения того или иного решения относительно нулевой гипотезы H0.

В порядке установления принципов, на которых следует основывать выбор того или иного последовательного критерия, необходимо рассмотреть зависимость от параметрической точки степени предпочтения, которое мы оказываем решению о принятии или отклонении нулевой гипотезы

Обозначим через множество всех параметрических точек 0, которые согласуются с гипотезой так что гипотеза заключается в утверждении, что истинная параметрическая точка входит в состав множества Если, например, имеется только один неизвестный параметр и если гипотеза заключается в том, что меньше или равен определенной заданной величине то множество со будет включать в себя все 0, для которых справедливо неравенство Поскольку правильное решение всегда

предпочтительнее неправильного, то можем сказать, что принятие гипотезы предпочтительнее при любых 9, принадлежащих множеству а отклонение гипотезы предпочтительнее при всех не вошедших в состав множества

Однако при выборе определенного последовательного критерия недостаточно руководствоваться простым утверждением о предпочтительности принятия или отклонения гипотезы При этом выборе нам необходимо также знать что-то относительно того, как степень предпочтения, которую мы оказываем принятию или отклонению рассматриваемой гипотезы, зависит от параметрической точки 0.

Обозначим через множество всех параметрических точек, не вошедших в состав множества Тогда точку будем считать граничной точкой множества т. е. точкой, расположенной на границе множества если в любой произвольно малой окрестности точки имеются точки, принадлежащие как к так и к Совокупность всех граничных точек множества будем называть границей множества Если, например, имеется только один неизвестный параметр и множество со определяется неравенством то является единственной граничной точкой множества . Если является множеством всех параметрических точек удовлетворяющих условию боббр то точки будут граничными точками данного множества.

Если истинная параметрическая точка принадлежит множеству но расположена вблизи границы этого множества, то принятию гипотезы будет дано, вообще говоря, небольшое предпочтение. Аналогично, если истинная параметрическая точка принадлежит множеству но расположена вблизи границы этого множества, то отклонению гипотезы также будет дано лишь небольшое предпочтение. Другими словами, отклонение гипотезы нельзя рассматривать как серьезную ошибку, если истинная параметрическая точка принадлежит множеству но расположена вблизи его границы. Аналогично, принятие гипотезы нельзя считать серьезной ошибкой, если истинная параметрическая точка принадлижит к множеству но расположена вблизи его границы. Если же истинная параметрическая точка лежит точно на границе множества то вообще нельзя отдать никакого предпочтения тому или иному решению, т. е. для нас безразлично, будет принята гипотеза или же отклонена.

Таким образом, множество всех параметрических точек (параметрическое пространство) можно подразделить на три попарно непересекающиеся области: 1) рбласть, состоящую из всех точек 0, в которых значительное предпочтение оказывается принятию гипотезы 2) область, состоящую из всех точек 0, в которых значительное предпочтение придается отклонению гипотезы , 3) область, состоящую из всех тех точек, которые не вошли в состав двух предыдущих областей. Эта последняя область будет состоять из всех параметрических точек 0, в которых ни принятие, ни отклонение гипотезы не являются сильно предпочтительными. Будем называть первую область областью принятия, вторую область — областью отклонения и третью область — областью безразличия. Область принятия всегда является частью множества а область отклонения — частью множества Область безразличия обыкновенно состоит из точек множества (о и множества расположенных вблизи границы или на самой границе множества

Хотя описанное выше подразделение параметрического пространства на три области и является основой для выбора того или иного последовательного критерия, его нельзя рассматривать как статистическую задачу. Такое подразделение проводится в каждом случае на основе практической оценки тех последствий, к которым приводит неправильное решение.

Подразделение параметрического пространства на упомянутые выше три области приводит к тому, что степень предпочтения того или иного решения оказывается разрывной функцией параметра Более того, степень предпочтения того или иного решения мы можем описать при помощи функций функция выражает относительную важность ошибки, связанной с принятием гипотезы т. е. те потери, к которым приводит принятие этой гипотезы, когда является истинным значением параметра; функция выражает относительную важность ошибки, связанной с отклонением гипотезы т. е. относительную важность тех потерь, к которым приводит отклонение гипотезы когда является истинным значением параметра. Функция равна нулю для всех 0, принадлежащих к множеству поскольку для таких принятие гипотезы является правильным решением. Для всех 0, принадлежащих к множеству функция будет иметь положительную

величину, которая, вообще говоря, тем больше, чем дальше расположена точка от границы множества Аналогично, функция равна нулю для всех 0, принадлежащих к множеству для всех 0, принадлежащих к множеству При этом величина (0) будет, вообще говоря, увеличиваться с увеличением расстояния параметрической точки от границы множества

Проведенное выше подразделение параметрического пространства на три области эквивалентно следующему выбору функций для 0, расположенных в области принятия или в области безразличия. Для всех 0, расположенных в области отклонения, функция равна большой положительной величине, например что означает, что потери, вызванные принятием рассматриваемой гипотезы, имеют уже практическое значение. Аналогично, для всех 0, расположенных в области отклонения или в области безразличия. Для всех 0, расположенных в области принятия, функция (0) равна большой положительной величине, например что означает, что потери, к которым приводит отклонение рассматриваемой гипотезы, имеют уже практическое значение.

Для точного описания зависимости степени предпочтения того или иного решения от параметра необходимо зачастую использовать непрерывные функции (0) и Тем не менее ступенчатые функции, получающиеся в результате подразделения параметрического пространства на три области, будут давать хорошую аппроксимацию функций и в большинстве практических случаев. С другой стороны, эти ступенчатые функции отличаются большой простотой и наглядностью. В связи с этим в дальнейшем будем предполагать, что зависимость степени предпочтения того или иного решения от описывается ступенчатыми функциями, получающимися в результате подразделения параметрического пространства на три области, упомянутые выше.

Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим кратко несколько примеров. В качестве первого примера рассмотрим приемочную проверку партии товара, состоящей из большого количества промышленных изделий. Предположим, что все изделия разделяются на две категории (дефектные и недефектные) и мы предпочитаем принять эту партию товара или забраковать ее только в зависимости от доли дефектных изделий в партии. Вообще говоря, можно выбрать две величины такие, что в случае

отклонение партии является серьезной ошибкой, имеющей практическое значение, а в случае то же можно сказать о принятии этой партии. В случае, когда величина лежит между ни одно из этих двух решений не является сильно предпочтительным. Таким образом, область безразличия в данном примере можно определить как интервал между область принятия — как совокупность всех соответствующих неравенству и область отклонения — как совокупность всех соответствующих неравенству

В качестве второго примера рассмотрим задачу об определении твердости х некоторых промышленных изделий. Будем считать, что твердость х меняется от образца к образцу, так что в генеральной совокупности всех изготовленных изделий твердость х можно считать случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Предположим, что среднее значение величины х неизвестно, но стандартное отклонение этой величины мы знаем. Будем считать, что наиболее желательная величина равна и что изделия становятся тем менее желательными, чем больше абсолютная величина разности между истинным средним значением и наиболее желательной величиной

Предположим, что мы должны ответить на вопрос, следует ли выпускать данную продукцию на рынок или нет. При такой постановке вопроса можно, вообще говоря, определить некоторую положительную величину с такую, что при мы предпочитаем выпустить партию наших изделий на рынок, а при воздержаться от этого. При для нас безразлично, какое решение будет принято. Таким образом, гипотезу можно сформулировать как гипотезу о том, что Мы не будем определять область безразличия равенством так как если несколько отличается от с, то степень предпочтения одного решения перед другим очень мала и не может иметь практического значения. Можно, однако, определить некоторую положительную величину А такую, что при мы очень заинтересованы в принятии гипотезы т. е. в выпуске продукции на рынок, а при мы сильно заинтересованы в отклонении гипотезы В случае, когда мы не можем оказать значительного предпочтения ни одному из решений. Таким образом, область безразличия в данном примере определится неравенством

область принятия — неравенством а область отклонения — неравенством

В обоих рассмотренных примерах было только по одному неизвестному параметру. Рассмотрим теперь пример с двумя неизвестными параметрами. Предположим, что приемочному испытанию подвергается партия товара, состоящая из большого числа промышленных изделий. Предположим, что интересующей нас характеристикой изделий является сопротивление их давлению, которое измеряется величиной х. Будем считать, что величина х меняется от изделия к изделию и распределена в данной партии товара по нормальному закону с неизвестным средним значением и неизвестным стандартным отклонением а.

Рис. 6.

Обозначим через такую величину что принятие данной партии является очень предпочтительным, если доля изделий, для которых не превосходит а в случае, когда доля таких изделий больше 5%, мы очень заинтересованы в отклонении всей партии. В промежуточном случае, когда доля изделий, у которых составляет величину, лежащую между и 5%, ни одно из решений не является значительно предпочтительным.

Доля изделий, для которых больше или равна 5% в том (и только в том) случае, если а доля таких изделий меньше или равна 1% в том (и только в том) случае, когда Величины можно определить по таблице нормального распределения. Таким образом, область отклонения определится совокупностью

всех величин для которых выполняется неравенство область принятия определится неравенством 2» область безразличия — неравенством

Эти три области представлены на рис. 6, где по горизонтальной оси отложена величина а по вертикальной величина о. Область безразличия ограничена двумя прямыми, проходящими через точку на оси абсцисс и имеющими наклон и соответственно.