§ 3.5. Среднее число наблюдений последовательного критерия отношений вероятностей

Пусть означает необходимое число наблюдений в критерии и пусть есть среднее значение когда является истинным значением параметра. Среднее значение является функцией от 0, которую назовем функцией среднего числа наблюдений. В этом параграфе дадим в общих чертах вывод приближенной формулы для функции среднего числд наблюдений при условии, что мы пренебрегаем

эффектом превышения границ величиной при окончании последовательного процесса. Более полное рассмотрение функции среднего числа наблюдений вместе с нижней и верхней границами приводится в приложении

Пусть целое число будет настолько большим, чтобы вероятность того, что была пренебрежимо малой 1). Таким образом, предположим, что Тогда можно записать

где

Вычисляя математическое ожидание от обеих частей равенства (3.49), получим

где

Так как для случайная величина распределена независимо от то математическое ожидание от равно произведению математического ожидания на математическое ожидание одной т. е.

Из (3.51) и (3.53) следует, что

Следовательно,

если Если является истинным значением параметра, то по определению функции Обозначим через математическое ожидание величины z, когда 0 является истинным значением параметра.

Если можно пренебречь эффектом превышения границ Ли В отношением вероятностей при окончании последовательного процесса, то случайная переменная может принимать только значения с вероятностями и соответственно. Следовательно,

Из (3.55) и (3.56) получаем приближенную формулу

В предыдущем параграфе мы получили явную формулу для в случае биномиального и нормального распределения. Таким образом, для получения окончательной формулы для необходимо вычислить В случае биномиального распределения, т. е. когда для для имеем

В случае нормального распределения, т. е. когда

получаем

Следовательно,