ГЛАВА 6. КРИТЕРИЙ ДЛЯ РАЗНОСТИ МЕЖДУ СРЕДНИМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ДВУХ БИНОМИАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ (ДВОЙНАЯ ДИХОТОМИЯ)

§ 6.1. Постановка задачи

Предположим, что мы хотим сравнить эффективность двух производственных процессов, причем эффективность производственного процесса измеряется долей годных изделий в общем количестве произведенных изделий. Мы будем говорить, что изделие является годным, если оно имеет некоторые желаемые свойства, например, если оно способно противостоять определенному растяжению. Пусть доля годных изделий, когда осуществляется процесс 1, а -доля годных изделий, когда осуществляется процесс 2. Другими словами, есть вероятность того, что изготовленное изделие будет годным, если осуществляется процесс 1, а -вероятность того, что изделие будет годным, когда осуществляется процесс 2. Предположим, что нам неизвестны значения и что осуществляется процесс 1. Если то нам желательно сохранить процесс 1. Однако, если особенно, если значительно меньше то мы хотели бы заменить процесс 1 процессом 2. Таким образом, нас интересует проверка гипотезы против конкурирующей гипотезы

В более общем виде задачу можно поставить следующим образом. Рассмотрим два биномиальных распределения. Пусть вероятность успеха в одиночном эксперименте согласно первому биномиальному распределению, а -вероятность успеха в одиночном эксперименте согласно второму биномиальному распределению. Будем обозначать успех

символом 1, а неуспех символом 0. Предположим, что вероятности неизвестны. Рассмотрим задачу проверки гипотезы на основе выборки, состоящей из наблюдений, взятых из совокупности, подчиняющейся первому биномиальному закону распределения, и наблюдений из совокупности, подчиняющейся второму биномиальному закону. Так как очень часто наиболее интересным оказывается случай и именно в этом случае (как мы увидим позже) удается получить точное и достаточно простое математическое решение задачи, будем в дальнейшем предполагать Таким образом, на основании двух серий из независимых испытаний мы должны принять или отвергнуть гипотезу

§ 6.2. Классический метод

Ниже приводится классическое решение проблемы для больших Пусть число успехов в первой серии из испытаний (взятых из совокупности, подчиняющейся первому биномиальному закону), и пусть число успехов во второй серии из испытаний (взятых из второй биномиальной совокупности). Обозначим 2 через через Тогда для больших величина

распределена по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией, если Предположим, что мы хотим выбрать уровень значимости а. Пусть величина, для которой вероятность того, что нормальная случайная переменная с нулевым средним значением и единичной дисперсией превысит равна а (например, если Таким образом, в случае, когда вероятность того, что величина (6.1) превысит равна а. Если то вероятность того, что величина (6.1) превысит меньше а. В соответствии с классическим методом гипотеза отвергается, если наблюдаемое значение (6.1) превышает Этот метод является приближенным, так как распределение для (6.1) не точно нормальное (при малых оно далеко от нормального). Для малых точный метод был предложен Р. А. Фишером, однако этот метод включает в себя громоздкие вычисления.

В § 6.3 будет предложен другой (непоследовательный) метод, который является точным и довольно простым в обращении, поскольку это касается вычислений. Дополнительным преимуществом предлагаемого метода является его пригодность для последовательного анализа, для которого существующие методы не могут быть непосредственно приспособлены.

§ 6.3. Точный непоследовательный метод

Пусть результаты первой серии из опытов, результаты второй серии из опытов. Эти результаты расположены в том порядке, в котором они наблюдались. Рассмотрим последовательность пар

Пусть число пар и число пар в этой последовательности. Мы рассматриваем только пары и и на них основываем критерий.

Пусть а — исход наблюдения из первой совокупности, исход наблюдения из второй совокупности. Вероятность того, что равна а вероятность того, что равна Зная, что равно одной из двух пар или можно записать условную вероятность того, что равно в виде

а условную вероятность того, что , в виде

Следовательно, когда рассматриваются только пары и переменная распределена как число успехов в последовательности независимых наблюдений, причем вероятность успеха при каждом наблюдении равна

Легко убедиться, что если если если Таким образом, проверяемая гипотеза о том, что эквивалентна гипотезе, что Следовательно, мы можем проверить гипотезу о том, что посредством проверки гипотезы о том, что

на основе наблюденного значения Так как распределение то же самое, что и распределение успехов в серии независимых опытов рассматривается как постоянная и вероятность успеха в одном опыте равна то проверку можно проводить обычным образом. Если мы хотим установить уровень значимости а, то критическое значение надо выбирать так, чтобы для вероятность того, что равнялась а. Гипотеза отвергается тогда (и только тогда), когда наблюденное больше или равно критическому значению Величину можно найти по таблице биномиального распределения. Если велико, распределено приближенно по нормальному закону и критическое значение можно получить из таблицы нормального распределения.

Этот способ обеспечивает, таким образом, простую проверку гипотезы Возникает вопрос о сравнении этого метода с классическим по эффективности. Казалось бы, что предлагаемый здесь метод не может быть самым эффективным, так как значения зависят от порядка элементов в последовательностях и нет особенных причин располагать их в том порядке, в каком мы их наблюдаем. Однако было показано, что потери в эффективности по сравнению с классическим методом пренебрежимо малы, если число опытов велико. Следует отметить, что способ проверки гипотезы может быть использован также для проверки гипотезы если конкурирующие гипотезы ограничены неравенством

Кроме простоты и точности, рассматриваемый метод, по-видимому, превосходит классический в следующем отношении. Предположим, что (в противоположность первоначальному предположению) вероятность успеха меняется от опыта к опыту. Пусть означает вероятность успеха в испытании первой серии и вероятность успеха

в испытании второй серии. Предположим, что вероятности полностью неизвестны, и мы хотим проверить гипотезу о том, что В этом случае классический метод неприменим, а рассматриваемый метод дает правильную процедуру испытания. Такая ситуация может возникнуть, например, если мы хотим проверить гипотезу о том, что вероятность успеха (попадания в цель) одна и та же для двух различных ружей. В ходе эксперимента вероятность попадания может изменяться за счет внешних условий, таких, как ветер или положение стрелка. Однако эти внешние условия должны влиять на оба ружья одинаково, если опыты осуществляются поочередно (или приблизительно поочередно), так что, если оба ружья одинаково хорошие, мы имеем