ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

§ 1.1. Случайные величины и распределения вероятностей

1.1.1. Понятие случайной величины.

Исход эксперимента или результат измерения является обычно непостоянным, поскольку вообще в результате измерения мы можем получать различные величины. Так, повторяющиеся измерения длины стержня будут давать, вообще говоря, различные результаты. Весьма часто мы можем высказать некоторое вероятностное утверждение относительно исхода эксперимента или результата измерения. Рассмотрим, например, эксперимент, заключающийся в бросании игральной кости, стороны которой пронумерованы числами от 1 до 6. В этом случае исходом эксперимента может быть любое целое число от 1 до и мы можем высказать различные вероятностные утверждения относительно исхода рассматриваемого эксперимента. Так, вероятность того, что в результате эксперимента будет выброшено число 5, равна вероятность того, что в результате эксперимента будет выброшено число, меньшее 4, равна и так далее. Вероятностные утверждения можно высказать и относительно исхода следующего эксперимента. Предположим, что из группы в 1000 индивидуумов случайным образом выбирается один индивидуум. Тогда

вероятность того, что рост выбранного индивидуума менее 170 см, будет равна умноженной на количество индивидуумов в группе, рост которых менее 170 см.

Переменная х называется случайной величиной, если для любого заданного числа с существует конечная вероятность события, заключающегося в том, что х принимает величину меньше с. Исходя из только что данного определения, можем теперь описать общий класс экспериментов, исход которых является случайной величиной. Рассмотрим группу из индивидуумов (или объектов) и некоторые числовые характеристики этих индивидуумов (или объектов), такие, как вес, рост, диаметр или твердость. Предположим, что величина х некоторой характеристики рассматриваемых объектов меняется в пределах данной группы от объекта к объекту. Эксперимент состоит в случайном выборе объекта из группы объектов и в последующем измерении величины х интересующей нас характеристики выбранного объекта. При этом под случайным выбором понимается такой выбор, при котором каждый объект группы из объектов имеет равные шансы быть выбранным. Исход х такого эксперимента является случайной величиной, поскольку при любом заданном с существует вероятность того, что х будет меньше с. Эта вероятность фактически будет равна где количество объектов в группе, для которых рассматриваемая характеристика имеет величину меньше с.

Интересным частным случаем является случай, когда рассматриваемая характеристика может принимать лишь два значения. Такая ситуация возникает, например, при проверке промышленной продукции, когда каждое изделие относится к одной из двух категорий: либо оно дефектно, либо недефектно. Будем приписывать дефектному изделию характеристику 1, а недефектному — характеристику 0. Тогда рассматриваемая характеристика, т. е. характеристика дефектности, может принимать только два значения: и 1. Рассмотрим партию, состоящую из изделий, считая при этом, что количество дефектных изделий в партии равно Если эксперимент заключается в проверке одного изделия, случайным образом выбранного из партии, то исход такого эксперимента х будет случайной величиной, которая может принимать только два значения: или 1. При этом

бероятность того, что будет равна а вероятность того, что будет равна