ГЛАВА 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

§ 2.1. Понятие последовательной проверки

В существующей теории проверки статистических гипотез количество наблюдений, т. е. объем выборки, на которых основывается проверка, считается постоянным для каждой конкретной задачи. Существенной чертой последовательной проверки гипотез, в отличие от ныне существующей методики проверки, является то, что количество наблюдений, необходимых для принятия решения, зависит в данном случае от исхода самих наблюдений и, следовательно, является не определенной заранее, а случайной величиной.

Метод последовательной проверки гипотезы можно изложить следующим образом. Устанавливается некоторое правило, которым руководствуются при принятии на каждой стадии эксперимента (при испытании, где любое целое число) одного из следующих трех решений: 1) принять гипотезу отклонить гипотезу продолжать эксперимент и провести дополнительное наблюдение. Таким образом, проверка проводится последовательно. На основе первого наблюдения принимается одно из трех решений, указанных выше. Если принимается первое или второе решение, то проверка на этом заканчивается. Если принимается третье решение, то производится второе наблюдение. На основе двух наблюдений опять принимается одно из трех возможных решений. Если принимается третье решение, то производится третье наблюдение и т. д. Проверка продолжается до тех пор, пока не будет принято первое или второе решение. Количество наблюдений,

необходимых при такой методике проверки, является случайной величиной, поскольку величина зависит исхода наблюдений.

Обозначим через множество всех возможных выборов объема где любое положительное целое число. При этом можно толковать и как -мерное пространство выборок. Правило, согласно которому производится принятие одного из трех возможных решений на каждой стадии эксперимента, можно изложить следующим образом. Для каждого целого -мерное пространство выборок разбивается на три попарно непересекающиеся области После того как в результате первого наблюдения будет определена величина мы принимаем проверяемую гипотезу И, если величина лежит в области отклоняем эту гипотезу, если лежит в и производим второе наблюдение, если лежит в Если принимается третье решение и производится второе наблюдение то гипотеза И принимается, отклоняется или производится следующее, третье, наблюдение в зависимости от того, в какую область попадает выборка или в Если выборка попадает в область производится третье наблюдение после чего вновь принимается одно из трех возможных решений в зависимости от того, в какую область попадает выборка или в — и так далее. Этот процесс заканчивается тогда (и только тогда), когда принимается либо первое, либо второе решение. Таким образом, последовательный критерий полностью определяется заданием совокупности областей для всех возможных положительных целых Поскольку попарно непересекающиеся области, которые дополняют друг друга до полного пространства выборок то достаточно определить любые две из совокупностей Любая из трех совокупностей состоит как раз из всех тех выборок, которые не содержатся в двух остальных.

Будем называть выборку неэффективной, если она включает в себя такую первоначальную выборку где что лежит либо

в области либо в области Выборку, не отвечающую этому определению, будем, соответственно, называть эффективной. Ясно, что при последовательном критерии мы должны иметь эффективную выборку на каждом этапе эксперимента. Таким образом, при определении совокупностей можем пренебречь неэффективными выборками. Другими словами, достаточно указать, в какую из совокупностей должна включаться каждая эффективная выборка поскольку неэффективные выборки не могут появиться при последовательных проверках.

Приведем простой пример последовательного критерия. Предположим, что приемочной проверке подвергается партия товара, состоящая из большого количества промышленных изделий. Каждое изделие по некоторому признаку может быть отнесено к дефектным или недефектным. Доля дефектных изделий в данной партии неизвестна. Считается, что партию следует принять, если меньше или равна заданной величине Если то мы предпочитаем забраковать партию. Таким образом, мы заинтересованы в проверке гипотезы о том, что

Методика проверки гипотезы может служить простым примером последовательного критерия. Пусть означает заданное целое число. Будем считать, что если первые проверенных образцов окажутся недефектными, то проверка на этом прекращается, и вся партия товара считается годной (гипотеза И принимается). Если проверяемое изделие при оказывается дефектным, то последующие изделия не проверяются, и вся партия бракуется (гипотеза отвергается). Будем обозначать цифрой недефектные изделия, а цифрой -дефектные изделия. В нашем примере выборка эффективна в том (и только в том случае, когда Таким образом, область не содержит эффективных выборок при т. е. принятие проверяемой гипотезы невозможно при Область содержит единственную эффективную выборку ( С другой стороны, каждая из областей содержит при точно по одной эффективной выборке ().

Совокупности областей определяющие последовательный критерий, могут быть выбраны многими способами, так что основная проблема в

теории последовательных критериев заключается в соответствующем выборе этих совокупностей. Для того чтобы сформулировать принципы, на которых основывается наиболее целесообразный выбор совокупностей необходимо предварительно изучить те последствия, к которым приводит каждый конкретный выбор этих совокупностей, чем и займемся в следующем параграфе.