§ 5.4. Оперативная характеристика критерия L(p)

5.4.1. Определение L(p) при некоторых значениях переменной р.

Согласно определению п. 2.2.1 значение оперативной характеристики для каждого равно вероятности того, что партия будет принята, когда истинная доля дефектных изделий в партии равна Легко проверить, что

Так как методика проверки составляется так, что вероятность принятия партии при равна 1—а, а вероятность принятия партии при равна (3, то

Когда

получаем из равенства (3.43)

где свободные члены в уравнениях прямых и Таким образом, пять точек графика оперативной характеристики, соответствующие можно

определить немедленно. Ввиду того, что монотонно убывает с увеличением пять точек почти точно определят форму кривой оперативной характеристики в целом. Часто этого достаточно для практических целей, и расчет для других значений не нужен.

5.4.2. Определение L(p) на всей оси р.

В главе 3 (равенства (3.45) и было показано, что

где определяется из уравнения

Чтобы рассчитать кривую оперативной характеристики, не обязательно решать уравнение (5.20) относительно Для любого произвольного значения значения могут быть получены из (5.19) и (5.20). Найденная таким образом точка будет точкой кривой оперативной характеристики. Эту кривую можно изобразить, нанеся на график достаточно много точек соответствующих различным значениям На рис. 12 изображена типичная кривая оперативной характеристики. Параметр и (5.20) изменяется от до Можно показать, что правая часть равенства (5.19) возрастает с увеличением а правая часть равенства (5.20) убывает с увеличением Пять значений рассмотренных в п. 5.4.1, т. е. соответствуют, как видно из (5.20), значениям ,

Рис. 12.

соответственно. Подставляя в (5.19), получим пять соответствующих значений которые совпадают со значениями, приведенными в п. 5.4.1.

Если часть кривой оперативной характеристики, соответствующая положительным значениям определена, расчет части кривой, соответствующей отрицательным можно упростить. Чтобы показать это, возьмем положительное и соответствующую этому значению точку кривой оперативной характеристики. Пусть означает точку на кривой, соответствующую Тогда имеем

Аналогично,

Таким образом, точку соответствующую можно найти, зная точку соответствующую при помощи простых соотношений

5.4.3. Точная формула для L(p), когда величина, обратная угловому коэффициенту линий решения, есть целое число.

Величина z, т. е. логарифм отношения вероятностей для одного наблюдения, может принимать только два значения: и Из (5.15) следует, что

где угловой коэффициент линий решения. Допустим, что целое число. Тогда оба значения являются целыми кратными именно и для определения точной кривой оперативной характеристики можно использовать результаты последней части приложения На основе этих результатов можно показать, что

где А и В постоянные, используемые в последовательном критерии, символ означает наименьшее целое число к

и корни уравнения

Другой метод получения точной формулы для был дан М. А. Гиршиком (Ann. of Math. Stat. 17. (1946)). Его метод не требует вычисления корней и