4.1.3. Проверка простой гипотезы в случае, когда на конкурирующие величины неизвестных параметров не накладывается никаких ограничений.

В этом пункте рассмотрим следующую общую задачу. Распределение х включает в себя неизвестных параметров Проверяется гипотеза о том, что параметры равны некоторым определенным величинам Будем обозначать совокупность параметров буквой без всяких индексов, которую будем трактовать как точку в пространстве параметров. Применение индексов у буквы 0, таких, как 0°, будет указывать, что имеется в виду определенная параметрическая точка. Тогда нашу гипотезу можно выразить так: неизвестная параметрическая точка совпадает с определенной параметрической точкой 0°.

Как мы видели в предыдущем пункте, область принятия состоит из единственной параметрической точки 0°. Обозначим через область отклонения. Обычно область отклонения

образуется множеством всех точек «расстояние» которых (определенное в некотором смысле) от 6° больше или равно некоторой заданной положительной величине. Тогда требования, предъявляемые к оперативной характеристике критерия, которые были сформулированы в п. 2.3.3, можно записать следующим образом: вероятность отклонения гипотезы в случае, когда должна равняться заранее заданной величине а, а вероятность принятия гипотезы для любой параметрической точки, расположенной в области должна превышать заранее заданную величину

Прежде чем рассмотреть задачу о конструировании соответствующего последовательного критерия, удовлетворяющего указанным выше требованиям, рассмотрим сначала задачу об отыскании некоторого вспомогательного критерия, удовлетворяющего следующим видоизмененным требованиям. Для любой в области обозначим через вероятность принятия гипотезы в случае, когда является истинной параметрической точкой. Следовательно, является вероятностью ошибки второго рода в случае, когда является истинной параметрической точкой. Наши первоначальные требования заключались в том, чтобы для всех в области не превышала заданной величины Теперь будем требовать, чтобы среднее значение взвешенное с данной "весовой функцией было равно т. е.

где для всех в области и

При этом по-прежнему сохраняется требование, чтобы вероятность отклонения гипотезы когда она истинна, равнялась заранее заданной величине а. Теперь можем легко сконструировать последовательный критерий, удовлетворяющий этим модифицированным требованиям. Пусть это

распределение вероятностей выборки когда потеза оказывается истинной, т. е.

Введем распределение определяемое интегралом

- Следовательно, является взвешенным средним распределением функции которое соответствует различным параметрическим точкам, расположенным в области Поэтому само является функцией распределения вероятностей выборки

Пусть означает гипотезу о том, что распределение вероятностей выборки дается функцией которая определяется формулой (4.4). Тогда будет простой гипотезой, поскольку она полностью определяет все распределение. Рассмотрим последовательный критерий отношений вероятностей силы применительно к проверке гипотезы относительно простой гипотезы Этот критерий определяется следующим образом. Гипотеза отклоняется, если

принимается, если

и производится дополнительное наблюдение, если

Выражения определяются формулами (4.3) и (4.4), а постоянные выбираются так, чтобы критерий имел

требуемую силу Как мы видели в параграфе 3.3, для большинства практических целей можно пользоваться приближенными формулами

Можно показать, что последовательный критерий отношений вероятностей, определяемый неравенствами (4.5), (4.6) и (4.7), удовлетворяет соотношению (4.1). Таким образом, этот критерий можно считать удовлетворительным решением задачи, если наши требования таковы, что вероятность ошибки первого рода должна равняться а и что должно удовлетворять равенству (4.1).

В практических задачах представляется, однако, более Целесообразным сохранить первоначальные требования, т. е. требовать, чтобы вероятность принятия гипотезы не превышала величины для всех параметрических точек 0, расположенных в области и вероятность отклонения гипотезы для равнялась а. Существует вообще бесконечно много последовательных критериев, которые удовлетворяют этим требованиям, но мы хотим выбрать такой, для которого среднее число наблюдений было бы минимальным.

Строгое исследование этого вопроса еще не проведено, тем не менее, возможно, является приемлемым следующее приближение. Сначала мы ограничимся классом С последовательных критериев отношений вероятностей, основанных на отношении где определяется формулой (4.3), а формулой (4.4), при произвольной неотрицательной весовой функции удовлетворяющей равенству Таким

образом, класс С содержит по крайней мере столько же критериев, сколько может быть весовых функций удовлетворяющих условию (4.2).

Критерий класса С однозначно определяется выбором определенной весовой функции и определенных величин Ли После этого испытание проводится обычным способом. Гипотеза принимается, если отклоняется, если и производится дополнительное наблюдение, если

Мы ограничиваем наш выбор последовательными критериями класса С, поскольку они были получены, исходя из требования, чтобы некоторая взвешенная средняя вероятность ошибок второго рода равнялась заданной величине (3.

Принимая ограничение, согласно которому последовательный критерий должен принадлежать классу С, мы должны сформулировать принцип, которым следует руководствоваться при выборе весовой функции Предположим, что величины уже определены. Посмотрим, какой выбор весовой функции будет при этом приемлем. После того как выбраны, вероятность а совершения ошибки первого рода также оказывается определенной с достаточной для практики точностью, и выбор функции не повлияет на ее величину. Таким образом, выбор функции (0) влияет только на При этом более желательной следует считать такую весовую функцию для которой максимальная относительно величина , конечно, ограничено областью оказывается меньше.

- Итак, приемлемым представляется следующий выбор функции при заданных величинах весовая функция выбирается из условия, чтобы максимальная относительно величина пробегает точки, расположенные в области была наименьшей. После того как этот принцип выбора функции нами принят, величина а и максимальная относительно в области величина будет зависеть только от Величины определяются таким образом, чтобы вероятность ошибки первого рода равнялась желательной величине а и максимальная относительно величина (3 (0) равнялась требуемой величине .

Общего метода, пригодного для определения оптимальной в указанном выше смысле весовой функции вообще говоря, еще не существует. Однако для некоторых частных, но важных случаев такая весовая функция была определена. Этот вопрос будет рассмотрен в приложении