10.4.4. Использование некоторых простых весовых функций.

Построение специальных весовых функций для данной задачи часто наталкивается на практические трудности. Хотя в промышленных задачах можно считать равным финансовым потерям, вызванным принятием когда значение истинно, в чисто научных иссле дованиях довольно трудно дать оправданную меру потерь, вызванных принятием неверной гипотезы.

Если даже не обращать внимания на трудности измерения потерь, вызванных неверными решениями, мы все-таки сталкиваемся с другой практической трудностью, заключающейся в том, что весовые функции могут быть слишком сложными, чтобы ими можно было пользоваться. Имеется, таким образом, потребность в упрощении.

Выбор плана выборочной проверки обычно не очень сильно зависит от точной формы весовых функций. Поэтому часто достаточно использовать какие-нибудь грубые приближения, воспроизводящие лишь основные черты весовых функций. Очень грубое, однако достаточное для многих приложений, приближение можно получить, заменяя функции на определяемые следующим образом:

где с — некоторая положительная постоянная. Таким образом, может принимать только два значения: Не теряя общности, можно положить так как это может быть достигнуто умножением функций риска на постоянный множитель, что никак не скажется на выборе способа проверки.

Ниже, в этом и следующем разделе, будем рассматривать только весовые функции Будем называть множество всех параметрических точек, для которых для зоной предпочтения принятия . Множество точек для которых

для будет называться зоной безразличия Аналогично, множество точек 0, для которых для будет называться зоной безразличия гипотез

Если имеем дело с проблемой проверки гипотезы то совпадает с — отрицанием Зона предпочтения принятия зона предпочтения принятия и зона безразличия определенные выше, соответствуют зоне предпочтения принятия, зоне предпочтения браковки и зоне безразличия, рассмотренным в п. 2.3.1.

Для иллюстрации значения различных зон вернемся к примеру, рассмотренному в § 10.1. В этом примере гипотеза гипотеза гипотеза Функции естественно задать следующим образом:

где А — некоторая положительная величина;

Тогда зона предпочтения принятия представляет собой множество значений 0, для которых Зона предпочтения принятия определяется неравенством а зона предпочтения принятия неравенством Зона безразличия определяется неравенством зона безразличия отсутствует, и зона безразличия определяется неравенством Наконец, зона безразличия отсутствует.

Когда используются весозые функции функция риска определяемая (10.2), принимает особенно простую форму. Так как может принимать только значения 0, 1, получаем

где суммирование производится по всем значениям у, для которых

Будем говорить, что принимается неверное решение, тогда (и только тогда), когда принимается гипотеза для которой Тогда риск определяемый формулой (10.5), просто равен вероятности принятия неправильного решения.

Принцип выбора плана последовательной выборки, как говорилось в п. 10.4.3, может быть теперь сформулирован следующим образом. Мы рассматриваем только те планы последовательной выборки, для которых вероятность принять неправильное решение не превышает определенной наперед заданной величины Из класса таких планов последовательной выборки пытаемся выделить такой способ, для которого математическое ожидание числа наблюдений наименьшее.