1.1.5. Математическое ожидание и высшие моменты случайной величины.
Предположим, что х является случайной величиной, имеющей дискретное распределение вероятностей. Пусть 
обозначает распределение х, т. е. 
равно вероятности того, что 
Тогда математическое ожидание х, обозначаемое через 
определится выражением
где суммирование ведется по всем возможным значениям 
Интерпретируя вероятность 
как долю элементов генеральной совокупности, для которых 
легко видеть из (1.4), что математическое ожидание 
величины х совпадает со средним значением х в генеральной совокупности. Если х является непрерывной величиной, которая допускает существование функции плотности вероятности 
, то математическое ожидание х определится следующим образом:
Математическое ожидание х часто называют средним по множеству или просто средним значением х.
Функция 
случайной величины сама является случайной величиной. Математическое ожидание функции 
где 
любое целое положительное число, а с — постоянная, называется 
моментом величины х относительно с. Особый интерес представляет случай, когда 
Математическое ожидание функции 
называется 
моментом х относительно среднего. Второй момент относительно среднего, т. е. математическое ожидание функции 
, называется также дисперсией. Корень квадратный из дисперсии называется стандартным отклонением или средним квадратическим отклонением.
Рассмотрим нормальную функцию плотности вероятности
постоянные 
Пусть 
случайная величина, распределение которой определяется выражением (1.6). Тогда, как легко убедиться, математическое ожидание х равно у, а дисперсия равна 