§ 1.2. Понятие статистической гипотезы

1.2.1. Неизвестные параметры распределения.

Пусть случайная величина. Если распределение х неизвестно, то может возникнуть следующая статистическая задача: по некоторому конечному числу наблюдений х высказать некоторое суждение относительно неизвестного распределения х. Зачастую распределение х не является совершенно неизвестным, т. е. некоторые неполные данные о распределении известны априори. Для иллюстрации этого рассмотрим следующие два примера.

Пример 1. Рассмотрим партию товара, состоящую из штук некоторых промышленных изделий. Предположим, что каждое изделие может быть отнесено к одной из двух категорий: к дефектным или недефектным, и мы случайным образом выбираем из этой партии одно изделие и проверяем его. Если цифрой обозначить каждое недефектное изделие, а цифрой 1 каждое дефектное, то результат нашей проверки будет случайной величиной, которая может принимать только два значения: и 1. Обозначим через относительное количество дефектных изделий в данной партии. Тогда вероятность того, что будет равна а вероятность того, что будет равна Таким образом, если величина известна, то распределение х будет полностью определено. Обычно величина неизвестна, и мы, проверяя некоторое количество изделий, взятых из данной партии, хотим высказать некоторое суждение относительно величины Если неизвестно, то наше знание распределения х неполно: мы знаем только, что х может принимать лишь значения и 1. В этом примере рассматривается как неизвестный параметр распределения, который может принимать любую величину от до 1. При этом будем говорить, что распределение х включает в себя неизвестный параметр Таким образом, в данном примере с точностью до значения параметра нам известно распределение х.

Пример 2. Предположим, что мы измеряем длину стержня при помощи некоторого инструмента, относительно которого известно, что ошибки измерения распределены по нормальному закону. Тогда результат х такого измерения будет нормально распределенной случайной величиной, т. е. распределение х будет определяться нормальной функцией плотности вероятности

Среднее значение распределения и его дисперсия а являются параметрами нормального распределения и обычно неизвестны. Среднее значение может равняться любой действительной величине, а может принимать любое положительное значение. Таким образом, в данном примере функция распределения также известна с точностью до значений параметров входящих в состав распределения.

Ситуацию, подобную указанным в этих двух примерах, вообще можно сформулировать следующим образом: функциональная форма закона распределения известна, но величины конечного числа параметров, входящих в распределение, неизвестны, т. е. функция распределения известна полностью, кроме значений конечного числа параметров. В первом примере единственным неизвестным параметром было относительное количество дефектных изделий в данной партии товара, во втором примере было уже два неизвестных параметра: среднее значение и дисперсия

В дальнейшем будем предполагать, что нам известен вид распределения случайной величины но неизвестны входящие в него в конечном числе параметры.