§ 3.6. Выигрыш в числе наблюдений при использовании последовательного критерия отношений вероятностей вместо обычной процедуры проверки

В данном параграфе будем предполагать, что является гипотезой, заключающейся в том, что рассматриваемая случайная величина х является нормально распределенной со

средним значением 90 и единичной дисперсией, в то время как является гипотезой, что х нормально распределена со средним значением и единичной дисперсией. Можно предположить, без потери общности, что Сравним среднее число наблюдений, необходимых в последовательном критерии отношений вероятностей силы для проверки относительно с фиксированным числом наблюдений, необходимых для обычного наиболее мощного критерия той же силы

Обозначим через фиксированное число наблюдений, необходимых в обычном критерии для обеспечения силы Наиболее мощный обычный критерий заключается в следующем. Гипотеза принимается, если среднее арифметическое значение наблюдений (число наблюдений определяется заранее) меньше или равно заранее определенной постоянной отвергается (принимается если х превосходит Постоянная и фиксированное число наблюдений должны быть выбраны таким образом, чтобы критерий имел требуемую силу . Для заданных соответствующая сила критерия может быть определена следующим образом. Так как эквивалентно неравенству то вероятность того, что точно такая же, как и вероятность того, что . Если справедлива то случайная величина нормально распределена со средним и единичной дисперсией. Таким образом, вероятность того, что когда справедлива т. е. вероятность принятия когда истинна, равна вероятности того, что Обозначим через вероятность того, что нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и единичной дисперсией примет значение меньше т. е.

Тогда вероятность принятия когда истинна, равна Так как вероятность принятия когда истинна, равна по определению , то получаем

Для определения беличины соответствующей заданным запишем неравенство в равносильной форме По определению является вероятностью принятия когда верна но последняя вероятность точно такая же, как вероятность того, что когда истинна. Но когда справедлива, эта вероятность равна Таким образом, получаем

Следовательно, для получения критерия требуемой необходимо выбрать величины таким образом, чтобы выполнялись уравнения (3.62) и (3.63). Пусть будет величиной, для которой а, и пусть будет величиной, при которой Величины могут быть получены из таблицы нормального распределения. Тогда уравнения (3.62) и (3.63) можно записать в виде

и

Вычитая уравнение (3.64) из уравнения (3.65), получим

Таким образом,

Если это выражение дробно, то является наименьшим целым числом, превышающим это выражение.

Определим теперь среднее число наблюдений, необходимых в последовательном критерии отношений вероятностей силы и сравним его с фиксированным числом наблюдений, необходимых в обычном критерии, которое определено формулой (3.67). В последовательном критерии будем использовать приближенные формулы для определения т. е. положим равными — и (соответственно) вместо точных значений Как было показано в § 3.2, и Таким

образом, полагая точных значений и можем только увеличить число наблюдений, необходимых в последовательном критерии. Соответственно и выигрыш, обусловленный последовательным критерием силы по сравнению с обычным критерием, не может быть меньше, чем выигрыш, который получается в последовательном критерии, использующем приближенные формулы Предположим, что достаточно мало, и поэтому можно воспользоваться приближенной формулой (3.57) для среднего значения величины Так как то из (3.57) получаем

и

где означает среднее значение величины когда справедлива гипотеза Легко проверить, что

и

Из выражений (3.67), (3.68), (3.69) и (3.71) получаем

и

Интересно отметить, что отношения и не зависят от значений параметра Средний выигрыш последовательного критерия по сравнению с обычным критерием равен процентам» если верна и -процентам, если верна . В табл. 1А приведены значения величины а В табл. 1В

значения величины Для нескольких значений Вследствие симметричности нормального распределения табл. получается из табл. 1А простой перестановкой

Таблица 1 (см. скан) Средний выигрыш в числе наблюдений при последовательном критерии по сравнению с обычным наиболее мощным критерием при проверке гипотезы о среднем значении нормального распределения случайной величины

Как видно из таблиц, для значений в диапазоне от 0,01 до 0,05 (наиболее часто используемый диапазон) последовательный критерий приводит к выигрышу не менее 47% необходимого числа наблюдений по сравнению с обычным критерием. Действительный выигрыш несколько выше, чем показано в таблице, так как определяемые при условии, что больше, чем вычисляемые при условии, что