§ 3.2. Основные соотношения между величинами a, b, A и B

В этом параграфе выведем некоторые неравенства, связывающие величины a, b, A и B, которые послужат основой для определения постоянных последовательного критерия отношений вероятностей. 1

Будем называть выборку выборкой типа О, если

и

Аналогично будем называть выборку , если

и

Таким образом, выборка типа приводит к принятию гипотезы а выборка типа 1 приводит к принятию гипотезы отклонению

Очевидно, вероятность получения любой заданной выборки типа 1 по крайней мере в А раз больше при гипотезе Ни чем при гипотезе Следовательно, мера вероятности совокупности всех выборок типа 1 также по крайней мере в А раз больше при чем при Мера вероятности совокупности всех выборок типа 1 является вероятностью того, что последовательный процесс окончится принятием (отклонением Но эта вероятность равна а, когда верна гипотеза когда верна гипотеза таким образом, получаем неравенство

Неравенство может быть записано в виде

Таким образом, является верхней границей для А.

Подобным образом может быть получена и нижняя граница для В. Действительно, вероятность получения любой заданной выборки типа при гипотезе по крайней мере в В раз больше вероятности получения этой выборки, когда верна Следовательно, и вероятность принятия при гипотезе по крайней мере в В раз больше, чем при Так как вероятность принятия равна 1—а, когда верна гипотеза , когда верна гипотеза то из этого следует неравенство

Это неравенство можно записать в виде

Таким образом, является нижней границей для В.

Неравенства (3.8) и (3.10) могут быть переписаны в виде

Эти неравенства являются наиболее важными в практическом приложении, так как они обеспечивают верхние границы для при заданных Например, из этих неравенств следуют

и

Интересно представить графически совокупность всех пар которые удовлетворяют неравенствам (3.12) и (3.13).

Рис. 9.

Любая пара может быть представлена точкой в плоскости с абсциссой а и ординатой (рис. 9). Рассмотрим прямые линии на плоскости, заданные уравнениями

и

соответственно. Линия пересекает ось абсцисс в точке ось ординат в точке Подобно этому линия пересекает ось абсцисс в точке и ось ординат в точке Область, состоящая из всех точек

удовлетворяющих неравенствам (3.12) и (3.13), является совокупностью внутренних и граничных точек четырехугольника, образованного прямыми и осями координат. На рис. 9 эта область показана штриховкой.

Неравенства (3.12) и (3.13) были выведены в предположении, что последовательные наблюдения являются независимыми наблюдениями х. Предположение о независимости наблюдений было использовано при доказательстве того, что с вероятностью единица процесс в конце концов заканчивается. Остальные результаты оказываются справедливыми также в случае, когда последовательные наблюдения зависимы, т. е. когда условное распределение наблюдения зависит от исхода предыдущих наблюдений. Если последовательные наблюдения являются зависимыми, то вероятность получения выборки т. е. совместное распределение уже не является произведением а будет более сложной функцией Таким образом, в случае зависимых наблюдений гипотеза является утверждением, что распределение выборки задается функцией , а конкурирующая гипотеза является утверждением, что распределение определяется другой функцией Можно построить последовательный критерий отношения вероятностей для проверки гипотезы при конкурирующей гипотезе таким же образом, как и для независимых наблюдений. И здесь выбираем две константы и продолжаем производить наблюдения до тех пор, пока

При достижении или . в последовательный процесс оканчивается. Если то принимается если то принимается Несмотря на зависимость последовательных наблюдений, основные неравенства (3.12) и (3.13) остаются справедливыми и для этой процедуры испытания, если только с вероятностью единица процесс рана или поздно окончится. Можно показать, что для достаточно большого класса совместных распределений с вероятностью единица последовательный

процесс рано или поздно окончится. Таким образом, справедливость неравенств (3.12) и (3.13) не ограничивается случаем независимых наблюдений. Они в общем справедливы и для зависимых наблюдений.

Простой случай зависимых наблюдений возникает при взятии выборки из конечной совокупности. Предположим, например, что партия промышленной продукции, состоящая из изделий, предъявляется к приемочному контролю. Пусть число дефектных изделий в партии, которое предполагается неизвестным, будет Каждому дефектному изделию припишем величину, равную единице, а каждому годному изделию — величину 0. Тогда распределение одного наблюдения определится выражением где

Последовательные наблюдения не являются, однако, независимыми. Например, если то распределение дается выражением время как при оно определяется выражением Если обозначить через число дефектных изделий (число единиц) в совокупности первых наблюдений то совместное распределение задается выражением

Пусть гипотеза означает, что равна некоторой заданной величине является гипотезой, что равна некоторой величине Тогда распределение выборки при определяется выражением

и распределение при дается равенством

Последовательный критерий отношений вероятностей для проверки относительно основывается на

отнощении Контроль продолжается до тех пор, пока Партия принимается, если В, и партия отвергается, если Основные неравенства (3.12) и (3.13) остаются справедливыми и для этой процедуры испытаний, несмотря на зависимость наблюдений.