П.2. Верхняя и нижняя границы оперативной характеристики последовательного критерия

П.2.1. Лемма.

Здесь и ниже будем обозначать математическое ожидание любой случайной величины через Для любого соотношения будем обозначать символом вероятность того, что выполняется. Если математическое ожидание или вероятность определяется в предположении, что является истинным значением параметра, входящего в распределение рассматриваемой случайной величины, то при доказательстве часто будем использовать для этих величин обозначения

При выводе нижней и верхней границ оперативной характеристики нам понадобится следующая лемма.

Лемма П. 1. Пусть дана случайная величина удовлетворяющая следующим трем условиям.

Условие I. Математическое ожидание существует и не равно нулю.

Условие II. Существует такое положительное , что

Условие III. Для любого действительного числа математическое ожидание существует.

Тогда существует одна и только одна действительная величина такая, что

Доказательство. Для любого положительного имеем

Отсюда, в силу получаем

Точно так же для отрицательных имеем

Но поэтому

Так как то из условия II следует, что

для всех действительных значений

Из соотношений и вытекает, что существует только одно такое действительное значение что имеет минимальное значение в точке Так как не равно нулю по условию I, то Очевидно, что функция является монотонно убывающей в интервале и монотонно возрастающей в интервале Так как то существует только одно действительное значение для которого Таким образом, лемма доказана. Из изложенного следует, что если то и если то и Далее, если то

а если то Следовательно, имеют противоположные знаки.

П.2.2. Фундаментальное тождество.

В этом пункте выведено равенство, которое будет играть фундаментальную роль. Рассмотрим последовательный критерий отношений вероятностей для проверки гипотезы о том, что распределение вероятностей величины х определяется функцией относительно конкурирующей гипотезы о том, что распределение вероятностей задается функцией Пусть

где означает наблюдение х. В соответствии с § 3.1 процедура проверки выполняется следующим образом. Продолжаем делать наблюдения до тех пор, пока

где являются постоянными, определенными перед началом эксперимента. Принимаем если

и отвергаем (принимаем если

Здесь и ниже будем обозначать через число необходимых наблюдений в критерии. Очевидно, что является величиной случайной. Пусть означает подмножество комплексной плоскости, в которой существует и является конечной для любой точки из Рассмотрим тождество

где означает положительное целое число и Пусть будет вероятностью того, что Для любой случайной величины а обозначим через условное математическое ожидание величийы и при условии, что а через условное математическое ожидание величины а при условии, что Тогда тождество можно записать в виде

Так как в множестве, определенном любым фиксированным выражение не зависит от то имеем

Из и получаем тождество

Разделив обе части равенства на получаем

Обозначим через подмножество комплексной плоскости, в которой а через общую часть подмножеств как и является ограниченной функцией от то имеем в области

Так как

то из и получаем фундаментальное тождество

для любой точки в подобласти