§ 3.8. Усечение процедуры последовательного анализа

Как показано в приложении П. 1, последовательный процесс с вероятностью 1 рано или поздно окончится. Однако иногда необходимо установить для числа наблюдений верхнюю границу, скажем Этого можно достигнуть усечением последовательного процесса на т. е. установлением новых правил для принятия или отклонения на испытании, если последовательный процесс не привел к окончательному решению при Простым и разумным правилом для усечения на испытании, по-видимому, должно быть следующее: если последовательный критерий отношений вероятностей не привел к окончательному решению при то после испытаний принимается гипотеза

если и отклоняется если

Однако усечение последовательного процесса на наблюдении изменяет ошибки первого и второго рода. Пусть будут вероятностями ошибок первого и второго рода для неусеченного последовательного критерия. Влияние усечения на будет, конечно, зависеть от значения Чем больше тем меньше влияние усечения на Результирующие вероятности ошибок первого и второго рода обозначим через а соответственно, если усечение последовательного процесса производится при В этом параграфе мы выведем верхние границы для и

Чтобы получить верхнюю границу для рассмотрим случаи, в которых усеченный процесс приводит к отклонению , в то время как неусеченный приводит к принятию Обозначим через вероятность получения при такой выборки, которая при усеченном процессе приводит к отклонению в то время как неусеченный процесс приводит к принятию Тогда, очевидно, имеем

В выражении (3.82) стоит знак неравенства, а не равенства, так как могут быть такие выборки, для которых усеченный процесс приводит к принятию в то время как неусеченный приводит к отклонению Для получения верхней границы величины а необходимо только вывести верхнюю границу величины По определению есть вероятность того, что при для последовательных наблюдений одновременно выполняются следующие три условия:

III. Если процесс продолжается после испытаний, то он оканчивается принятием

Обозначим через вероятность того, что при будет выполняться условие II, т. е.

Так как вероятность выполнения условия II не может быть меньше вероятности одновременного выполнения всех трех условий, то получаем

поэтому

Таким образом, а является верхней границей величины а которая, как будет показано ниже, достаточно просто вычисляется. Для получения верхней границы величины обозначим через вероятность (при ) того, что последовательные наблюдения окажутся такими, что усечённый процесс приводит к принятию тогда как неусеченный процесс приводит к отклонению Другими словами, является вероятностью того, что при последовательные наблюдения будут удовлетворять одновременно следующим трем условиям:

III. Если процесс продолжается после испытаний, то он оканчивается принятием

Очевидно,

Так как величину определить трудно, то определим ее верхнюю границу. Пусть будет вероятностью того, что при выполняется условие II, т. е.

Тогда поэтому

Покажем теперь, как можно вычислить Предположим, что настолько велико, что можно считать нормально распределенной. Если справедлива то математическое ожидание величины Равно а стандартное отклонение величины равно означает стандартное отклонение величины когда справедлива

Для вычисления перепишем неравенство

в виде

Пусть

Так как средний член в (3.88) имеет при нормальный закон распределения с нулевым средним значением и единичной дисперсией, то вероятность выполнения (3.88) при равна где означает вероятность того, что нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и единичной дисперсией примет значение Таким образом,

Для вычисления перепишем неравенство

в виде

Пусть

Так как средний член выражения (3.91) имеет при нормальны закон распределения с нулевым средним

значением и единичной дисперсией, то вероятность выполнения (3.91) равна Следовательно,

Полученные результаты можно записать в виде неравенств

и

где определяется равенствами (3.89) и (3.92). Эти верхние границы могут значительно превосходить соответствующие величины а Поэтому желательно найти более точные границы.

Таблица 3 (см. скан) Влияние усечения последовательного анализа на заданном числе наблюдений на вероятности ошибок

Если последовательный анализ основывается на расчетных значениях но решение принимается на испытаниях, хотя нормальный последовательный критерий и требует продолжения процесса, то действительные значения а не будут превосходить табличных данных. Таблица относится к проверке среднего значения нормально распределенной случайной величины, причем различие между нулевой и конкурирующей гипотезами устанавливалось для каждой пары таким, чтобы число наблюдений, необходимых в рбычном критерии, равнялось

В табл. 3 даны значения верхних границ величины определенные по (3.94) и (3.95), при различных, парах и при различных значениях величины В этих расчетах мы полагали

и предполагали, что распределение при является нормальным с нулевым средним и единичной дисперсией и распределение при также нормально со средним значением и единичной дисперсией. Для каждой пары величина определялась таким образом, что число наблюдений, необходимых в наиболее мощном обычном критерии силы равнялось 1000.

Автору кажется, что верхние границы, определенные (3.94) и (3.95), значительно выше соответствующих истинных значений а для незначительно превышающих величину необходимую в наиболее мощном обычном критерии.