ГЛАВА 11. ПРОБЛЕМА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ

§ 11.1. Принципы современной теории оценок интервалами или множествами

В этом разделе мы дадим краткий очерк основных идей развитой Нейманом теории оценок посредством интервалов или множеств. Рассмотрим сначала случай, когда распределение случайной величины х известно с точностью до значения единственного параметра Современная теория рассматривает проблему оценки величины на основе фиксированного числа наблюдений х, т. е. на основе наблюдений

Пусть означает выборку две однозначные функции выборки таких, что

Обозначим через интервал, простирающийся от до Будем называть также функцией интервала, так как она ставит в соответствие каждой выборке интервал.

Так как интервал функция выборки, его местоположение и длина будут, вообще говоря, случайными величинами, и поэтому может быть сделано вероятностное утверждение о том, содержится ли в истинное значение параметра или нет. Для любого значения будем выражать символом тот факт, что содержится в Для любого соотношения символ будет означать

вероятность того, что имеет место, когда истинное значение параметра равно 0.

Согласно Нейману, говорят, что функция интервала есть доверительный интервал 0, если

тождественно для всех 0, где фиксированная величина, не зависящая от 0. Соотношение (11.2) означает следующее: вероятность того, что истинное значение параметра будет заключено в всегда равна независимо от того, какое значение параметра имеет место. Фиксированная величина называется доверительным коэффициентом, связанным с доверительным интервалом

Предположим теперь, что распределение х зависит от нескольких неизвестных параметров, например

Любой набор возможных значений может быть представлен точкой 0, называемой параметрической точкой в -мерном декартовом пространстве (пространстве параметров). Если мы хотим оценить параметры совместно, т. е. если хотим оценить параметрическую точку 0, оценивающим множеством будет некоторое подмножество -мерного пространства параметров. Если в случае единственного неизвестного параметра оценивающие множества, отличные от интервалов, имеют малое практическое значение, то в случае, когда необходимо оценить совместно несколько неизвестных параметров, это не так. Нам придется рассматривать оценивающие множества, отличные -мерных интервалов, такие, как область, ограниченная сферой, эллипсом или более сложной поверхностью. Таким образом, мы должны будем рассмотреть функцию множеств которая связывает с каждой выборочной точкой некоторое подмножество пространства параметров; при этом мы не ограничиваемся случаем, когда -мерный интервал.

Говорят, что функция множеств является доверительной областью параметрической точки если

тождественно для всех 0, где фиксированная величина, не зависящая от 0. Величина называется доверительным коэффициентом доверительной области

Если требуется произвести оценку только одного из параметров оценивающие множества, отличные от

одномерных интервалов, не будут иметь большого практического значения (как и в случае единственного неизвестного параметра). Предположим, например, что должно оцениваться только Следуя Нейману, говорят, что функция интервала является доверительным интервалом с доверительным коэффициентом если

тождественно для всех

Обычно существует бесконечно много доверительных интервалов или доверительных областей с заданным доверительным коэффициентом у, и основная проблема состоит в том, чтобы найти наилучший доверительный интервал или доверительную область, обладающие некоторыми оптимальными свойствами. Ясно, что доверительный интервал или доверительная область будет тем лучше, чем короче интервал или чем меньше область. Понятия «короткий» или «малый» необходимо уточнить, так как длина доверительного интервала и объем доверительной области являются случайными величинами, зависящими от исхода выборки. Это было сделано в теории, развитой Нейманом, который ввел различные понятия об оптимальных доверительных интервалах и доверительных областях. Математические следствия из этих определений исследованы, и во многих важных случаях получены оптимальные доверительные интервалы и области. Мы не намерены здесь углубляться в детали и отсылаем читателя к публикациям Неймана по этому вопросу.